Von einem Punkt können wir auch den Abstand zu einer Gerade als die kürzeste Entfernung von dem Punkt zur Geraden betrachten. Mathematisch lässt sich das wie folgt formulieren:

Der Abstand eines Punktes \(P\) von einer Geraden \(g\) ist also der Abstand von \(P\) zu dem Punkt \(Q\) auf \(g\), der dem Punkt \(P\) am nächsten ist.

Wir wollen nun zunächst ganz speziell die ebene Situation betrachten, also eine Gerade \(g\) und einen Punkt \(P = (p_1 \, \vert \, p_2)\) in der Zeichenebene. Ist \(g\) gegeben als \(g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{q}\) mit Stützvektor \(\overrightarrow{o}\) und Richtungsvektor \(\overrightarrow{q}\), so können wir also schreiben

\(\qquad \overrightarrow{o} = \left( \begin{matrix} o_1 \\ o_2 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q} = \left( \begin{matrix} q_1 \\ q_2 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{r}(P) = \left( \begin{matrix} p_1 \\ p_2 \end{matrix} \right) \)

Um in diesem Fall die Entfernung von \(P\) zu \(g\) zu bestimmen, fällen wir von \(P\) aus das Lot auf die Gerade \(g\) und bestimmen den Fußpunkt \(Q\). Die Länge \(d\) dieses Lotes (also der Abstand \(d(P,Q)\)) ist dann die Entfernung von \(P\) zu \(g\), also ist \(d = d(P,g)\).

Durch Bewegen des Punkts \(Q'\) in der Abbildung können Sie sehen, dass \(d\) tatsächlich den kürzesten Abstand zwischen \(P\) und \(g\) darstellt:

Die Gerade \(g^{\perp}\), die senkrecht auf \(g\) steht und durch \(P\) geht, kann explizit beschrieben werden. Wir wissen nämlich bereits, dass der zu \(\overrightarrow{q}\) senkrechte Vektor \(\overrightarrow{q}^{\perp}\) gegeben ist durch

\(\qquad\overrightarrow{q}^{\perp} = \left( \begin{matrix} - q_2 \\ q_1 \end{matrix} \right)\)

und damit ist

\(\qquad g^{\perp} : \overrightarrow{x} = \overrightarrow{r}(P) + \lambda \cdot \overrightarrow{q}^{\perp} = \left( \begin{matrix} p_1 \\ p_2 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} - q_2 \\ q_1 \end{matrix} \right)\)

Der Punkt \(Q\) ist dann der Schnittpunkt dieser beiden Geraden. Sein Ortsvektor liegt also auf beiden Geraden, was bedeutet, dass es Zahlen \(r\) und \(s\) gibt mit

\(\qquad \overrightarrow{r}(P) + r \cdot \overrightarrow{q}^{\perp} =   \overrightarrow{r}(Q) =  \overrightarrow{o} + s \cdot \overrightarrow{q} \)

Komponentenweise ausgeschrieben bedeutet das

\(\qquad\begin{array} {r c r c r c r} p_1 &-& q_2 \cdot r & = & o_1 & + & q_1 \cdot s \\ p_2 & + & q_1 \cdot r & = & o_2 & + & q_2 \cdot s \end{array}\) 

Diese Beziehung lässt sich wie folgt als lineares Gleichungssystem (in den Unbekannten \(r\) und \(s\)) schreiben:

\(\qquad \begin{array} {r c r c l} q_1 \cdot s & + & q_2 \cdot r & = & p_1 - o_1 \\ q_2 \cdot s & - & q_1 \cdot r & = & p_2 - o_2 \end{array}\)

Dieses lineare Gleichungssystem kann (z.B. nach dem Additionsverfahren) gelöst werden, und wir erhalten

\(\qquad r = \dfrac {q_2 \cdot (p_1 - o_1) - q_1 \cdot (p_2 - o_2)}{q_1^2 + q_2^2}, \qquad s = \dfrac {q_1 \cdot (p_1 - o_1) + q_2 \cdot (p_2 - o_2)}{q_1^2 + q_2^2}\)

Beachten Sie dabei, dass \(q_1^2 + q_2^2 \neq 0\), da  \(\overrightarrow{q} \neq \overrightarrow{0}\).

Damit gilt für den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ}\):

\(\qquad\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{r}(P) - \overrightarrow{r}(Q) = \overrightarrow{r}(P) - r \cdot \overrightarrow{q}^{\perp} - \overrightarrow{r}(P) = -\dfrac {q_2 \cdot (p_1 - o_1) - q_1 \cdot (p_2 - o_2)}{q_1^2 + q_2^2} \cdot \left( \begin{matrix} - q_2 \\ q_1 \end{matrix} \right)\)

und deshalb ist

\(\qquad d(P, g) = d(P,Q) = \vert \overrightarrow{PQ} \vert = \left\vert -\dfrac {q_2 \cdot (p_1 - o_1) - q_1 \cdot (p_2 - o_2)}{q_1^2 + q_2^2} \right\vert \cdot \left\vert \left( \begin{matrix} - q_2 \\ q_1 \end{matrix} \right) \right\vert = \dfrac {\vert q_2 \cdot (p_1 - o_1) - q_1 \cdot (p_2 - o_2)\vert }{\sqrt{q_1^2 + q_2^2}}\)

wobei wir hier verwendet haben, dass

\(\qquad \left|\begin{pmatrix}-q_{2}\\ q_{1}\end{pmatrix}\right|=\sqrt{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}\)

Wir betrachten die Gerade \(g\) durch die Punkte \(A = (1 \, \vert \, 1)\) und \(B = ( 4 \, \vert \, 2 )\) und den Punkt \(P = ( 0 \, \vert \, 4)\).

Dann ist \(g\) gegeben durch den Stützvektor \(\overrightarrow{o}\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{q}\) mit

\(\qquad\overrightarrow{o} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{q} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right)\)

Wir können den Abstand von \(P\) zu \(g\) mit der oben hergeleiteten Formel berechnen und erhalten so:

\(\qquad d(P,g) = \dfrac {\vert q_2 \cdot (p_1 - o_1) - q_1 \cdot (p_2 - o_2) \vert}{\vert \overrightarrow{q} \vert} = \dfrac { \vert 1 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 \vert }{ \sqrt{1^2 + 3^2}} = \dfrac {10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \)