Die allgemeine Situation einer Geraden und eines Punktes ist etwas komplizierter, allerdings erhält man auch in diesem Fall eine einfache Formel für den Abstand.

Ist \(g\) eine Gerade in der Ebene, und fassen wir die Ebene als Teil des Raums auf (z.B. als \(x\)-\(y\)-Ebene mit \(z\)-Komponente \(0\)), so erhalten wir die Formel der vorangegangenen Seite.

Wir betrachten die Gerade \(g\) durch die Punkte \(A = (1 \, \vert \, {-1} \, \vert \, 2)\) und \(B = ( 3 \, \vert \, 4 \, \vert \, 3 )\) und den Punkt \(P = ( {-1 } \, \vert \, 4 \, \vert \, 2)\).

Dann ist \(g\) gegeben durch den Stützvektor \(\overrightarrow{o}\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{q}\) mit

\(\qquad \overrightarrow{o} = \left( \begin{matrix} \,1 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{q} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 1  \end{matrix} \right)\)

Wir befinden uns im Raum und berechnen daher zunächst das Vektorprodukt

\(\qquad \overrightarrow{q} \times \left( \overrightarrow{r}(P) - \overrightarrow{o}\right) = \left( \begin{matrix} \,2 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 \\ \,5 \\ \,0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -5 \\ \,-2 \\ 20 \end{matrix} \right)\)

Damit gilt

\(\qquad d(P,g) = \dfrac {\left\vert \overrightarrow{q} \times \left( \overrightarrow{r}(P) - \overrightarrow{o}\right) \right\vert}{ \left\vert \overrightarrow{q} \right\vert} = \dfrac {\sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 20^2}}{\sqrt{2^2+5^2+1^2}} = \dfrac {\sqrt{429}}{\sqrt{30}} = \dfrac {\sqrt{143}}{\sqrt{10}} \)

In der 3D-Visualisierung können Sie die Lage von \(P\) und \(g\) im Raum betrachten. Über die Buttons können Sie außerdem die Zwischenergebnisse \( \overrightarrow{r}(P)\), \(\overrightarrow{r}(P) - \overrightarrow{o}\) und \(\overrightarrow{q} \times \left( \overrightarrow{r}(P) - \overrightarrow{o}\right) \) ein- und ausblenden: