Abstand Punkt - Gerade im Raum Aufgabe 1
Wir betrachten die Gerade \(g_1\) durch die beiden Punkte \(\qquad P = ({-1}\, \vert \, 1 \, \vert \, 2), \quad Q = ( 3\, \vert \, 3 \, \vert \, 0)\) und die Gerade \(g_2 :\overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\), wobei \(\qquad \overrightarrow{o_2} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) \) Überprüfen Sie, ob diese beiden Geraden übereinstimmen. Erklärung Lösung: Die beiden Geraden sind gleich. Erläuterung: Die Gerade \(g_1\) hat die Darstellung \(g_1 : \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\), mit Stütz- und Richtungsvektoren, wobei \(\qquad \overrightarrow{o_1} = \overrightarrow{r}(Q) = \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{QP} = \left( \begin{matrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \) Da \(\overrightarrow{q_1} = 2 \cdot \overrightarrow{q_2}\), sind die beiden Richtungsvektoren kollinear. Da ferner der Punkt \(Q\) auf der Gerade \(g_2\) liegt (denn sein Ortsvektor ist Stützvektor von \(g_2\)), stimmen die beiden Geraden überein. |  |
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