Richtig ist die Aussage

\( \qquad d(P,R) \leq d(P,Q) + d(Q,R) \)

Diese Formel ist die sogenannte Dreiecksungleichung. Sie formuliert die offensichtliche Aussage, dass in dem Dreieck mit den Ecken \(P\), \(Q\) und \(R\) die Summe der Längen der beiden Seiten \(\overline{PQ}\) und \(\overline{QR}\) größer ist als die Länge der Seite \( \overline{PR}\).

Alle anderen Aussagen sind falsch. Betrachten wir etwa die Punkte \(P=(1 \, \vert \, 0 \, \vert \, 0)\), \(Q=(3 \, \vert \, 0 \, \vert \, 0)\) und \(R=(2 \, \vert \, 0 \, \vert \, 0)\), so gilt hierfür

\( \qquad d(P,Q) = 2, \quad d(P,R) = 1, \quad d(Q,R) = 1 \)

Also gilt hierfür

\( \qquad d(P,R) = 1 \not> 1 = d(P,Q)-d(Q,R) \)

sowie

\( \qquad d(P,R) = 1 \not> 3 = d(P,Q) + d(Q,R) \)

Betrachten wir dagegen die Punkte \(P=(0 \, \vert \, 0 \, \vert \, 0)\), \(Q=(1 \, \vert \, 1 \, \vert \, 0)\) und \(R=(2 \, \vert \, 0 \, \vert \, 0)\), so gilt hierfür

\( \qquad d(P,Q) = \sqrt{2}, \quad d(P,R) = 2, \quad d(Q,R) = \sqrt{2} \)

und damit

\( \qquad d(P,R) = 2 \not\leq 0 = d(P,Q) - d(Q,R) \)