Aufgabe 2 Aufgabe 3
Wir betrachten die Gerade \(g_1\) durch die Punkte \(\qquad A = (1 \, \vert \, 1 \vert \, 2)\, \) und \(B = ( 4 \, \vert \, 3 \, \vert \, 3) \) die Gerade \(g_2 : \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\), wobei \(\qquad \overrightarrow{o_2} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\) und den Punkt \( P = (3 \, \vert \, 9 \, \vert \, 6)\, \). Rechnen Sie nach, dass sich die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) in genau einem Punkt \(Q\) schneiden, und bestimmen Sie den Abstand von \(P\) von diesem Punkt \(Q\). Erklärung Lösung: Die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) schneiden sich genau in dem Punkt \( Q = (7 \, \vert \, 5 \, \vert \, 4)\, \) und es gilt \(\qquad d(P,Q) = 6 \) Erläuterung: Zunächst notieren wir, dass die Gerade \(g_1\) gegeben ist durch \(g_1 : \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\), wobei \(\qquad \overrightarrow{o_1} = \overrightarrow{r}(A) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)\) Ist \(Q\) ein Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\), so gibt es Zahlen \(r\) und \(s\) mit \(\qquad\overrightarrow{r}(Q) = \overrightarrow{o_1} + r \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(\qquad\overrightarrow{r}(Q) = \overrightarrow{o_2} + s \cdot \overrightarrow{q_2}\) Damit muss für diese Zahlen \(r\) und \(s\) gelten \(\qquad\overrightarrow{o_1} + r \cdot \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{o_2} + s \cdot \overrightarrow{q_2}\) bzw. \(\qquad r \cdot \overrightarrow{q_1} - s \cdot \overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}\) Komponentenweise betrachtet bedeutet das, dass \(r\) und \(s\) Lösungen des folgenden Gleichungssystems sind: \(\qquad\begin{array} {r c r c l} 3 \cdot r & - & 2 \cdot s & = & 2 \\ 2 \cdot r & - & s & = & 2 \\ r & - & s & = & 0 \end{array} \) Wir lösen dieses Gleichungssystem mit dem im Abschnitt über Gleichungssysteme behandelten Additionsverfahren (in Matrizenform) und betrachten die zugehörige augmentierte Matrix \(\qquad \left( \begin{array} {c c | c} 3 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right) \) Wir teilen die erste Zeile durch \(3\) und subtrahieren das Ergebnis dann zweimal von der zweiten und einmal von der dritten Zeile und erhalten \(\qquad \left( \begin{array} {c c | c} 1 & -\frac {2}{3} & \frac {2}{3} \\ 0 & \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ 0 & -\frac {1}{3} & -\frac {2}{3} \end{array} \right) \) Nun multiplizieren wir die zweite Zeile mit \(3\) und addieren ein Drittel des Ergebnisses zur dritten Zeile. Dadurch bekommen wir die Matrix \(\qquad \left( \begin{array} {c c | c} 1 & -\frac {2}{3} & \frac {2}{3} \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \) Hierzu gehört das reduzierte Gleichungssystem \(\qquad\begin{array} {r c r c l} r & - & \frac {2}{3} \cdot s & = & \frac {2}{3} \\ & & s & = & 2 \\ & & 0 & = & 0 \end{array}\) das offensichtlich die eindeutige Lösung \(s = 2\), \(r = 2\) besitzt. Damit haben die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) genau einen Schnittpunkt \(Q\), und dieser Schnittpunkt hat den Ortsvektor \(\qquad\overrightarrow{r}(Q) = \overrightarrow{o_1} + 2 \cdot \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{o_2} + 2 \cdot \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 7 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} \right)\) Der Abstand von \(P\) und \(Q\) berechnet sich nun als \(\qquad d(P,Q) = \sqrt{(7-3)^2+ (5-9)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{36} = 6\) |  |
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