Zwei Geraden \(g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \( g_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2}  + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\) sind also genau dann nicht parallel, wenn \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) nicht kollinear sind.
In diesem Fall gibt es zwei Möglichkeiten.

Wir zeigen nun, dass sich zwei Geraden \(g\) und \(g'\) in der Ebene, die nicht parallel sind, immer in einem Punkt schneiden.

Wir betrachten die Darstellung von zwei Geraden \(g\) und \(g'\) mit Stütz- und Richtungsvektor:

\(\qquad g: \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix} = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} q_1 \\ q_2 \end{matrix} \right), \qquad g': \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix} =  \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} q'_1 \\ q'_2 \end{matrix} \right)\)

Der Punkt \(P = (p_1 \, \vert \, p_2)\) ist ein Schnittpunkt der beiden Geraden, wenn es Zahlen \(r\) und \(s\) gibt mit

\(\qquad \left( \begin{matrix} p_1 \\ p_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix} \right) +  r \cdot \left( \begin{matrix} q_1 \\ q_2 \end{matrix} \right)\)

und

\(\qquad \left( \begin{matrix} p_1 \\ p_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} q'_1 \\ q'_2 \end{matrix} \right)\)

Das bedeutet dann aber insbesondere, dass

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c r} a_1 &+& r \cdot q_1 & = & b_1 & + & s \cdot q'_1 \\ a_2 & + & r \cdot q_2 & = & b_2 & + & s \cdot q'_2 \end{array}\)

also dass

\(\qquad\begin{array} {r c r c l} q_1 \cdot r & - & q'_1 \cdot s & = & b_1 - a_1 \\ q_2 \cdot r & - & q'_2 \cdot s & = & b_2  - a_2 \end{array} \)

Wir haben also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten \(r\) und \(s\).

Da die beiden Richtungsvektoren \(\left( \begin{matrix} q_1 \\ q_2 \end{matrix} \right)\) und \(\left( \begin{matrix} q'_1 \\ q'_2 \end{matrix} \right) \) nicht kollinear sind, gilt \(q'_1\cdot q_2 -  q'_2 \cdot q_1 \neq 0\). Das Gleichungssystem hat daher genau eine Lösung, nämlich

\(\qquad\begin{array} {r c l} r & =& \dfrac {1}{q'_1\cdot q_2-q'_2 \cdot q_1} \cdot \left(q'_2 \cdot (a_1-b_1) - q'_1 \cdot (a_2 - b_2) \right) \\ s & =& \dfrac {1}{q'_1\cdot q_2-q'_2 \cdot q_1} \cdot \left(q_2 \cdot (a_1-b_1) - q_1 \cdot (a_2 - b_2) \right) \end{array}\)

Damit gibt es also immer einen Punkt \(P\), der auf beiden Geraden liegt und eindeutig bestimmt ist, nämlich den Punkt mit Ortsvektor:

\(\qquad\overrightarrow{r}(P) = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix} \right) +  r \cdot \left( \begin{matrix} q_1 \\ q_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \end{matrix} \right) +  s \cdot \left( \begin{matrix} q'_1 \\ q'_2 \end{matrix} \right) \)

wobei \(r\) und \(s\) die oben ermittelten Zahlen sind.

Wenn Sie mit der Maus über die Abbildung fahren, können Sie sich \(\overrightarrow{r}(P)\) sowie \(\overrightarrow{o_1}\) und \(\overrightarrow{o_2}\) anzeigen lassen: