In der Ebene sind zwei Geraden also entweder parallel oder sie schneiden sich in genau einem Punkt. Im Raum kann es noch einen dritten Fall geben:

Wir betrachten die Geraden \(g_1: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(g_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\):

\(\qquad \overrightarrow{o_1} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{o_2} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right)\)

In der 3D-Visualisierung können Sie durch Drehung der Ansicht die Lage von \(g_1\) und \(g_2\) im Raum betrachten:

\(g_1\) und \(g_2\) sind nicht parallel, denn \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) sind nicht kollinear (keiner ist ein Vielfaches des anderen).

Sie haben aber auch keinen Schnittpunkt. Wäre nämlich \(P\) ein Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\), so gäbe es Zahlen \(r\) und \(s\) mit

\(\qquad \overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o_1} + r \cdot \overrightarrow{q_1}, \quad \overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o_2} + s \cdot \overrightarrow{q_2}\)

Speziell müsste also gelten

\(\qquad \overrightarrow{o_1} + r \cdot \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{o_2} + s \cdot \overrightarrow{q_2}\)

Die Zahlen \(r\) und \(s\) wären damit eine Lösung des Gleichungssystems

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c r} 2 & + & r & = & 1 & + & s \\ 3 & + & r & = & 4 & + & 2 s \\ 4 & + & r & =  & 9 & + & 3s \end{array}\)

also von

\(\qquad\begin{array} {r c r c c} r & - & s & = & -1 \\ r & - & 2 s & = & 1 \\ r & - & 3s & = & 5 \end{array}\)

Dieses lineare Gleichungssystem hat folgende augmentierte Matrix

 \(\qquad\left( \begin{array} {c c | c} 1 & - 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & - 3 & 5 \end{array} \right)\)

Subtrahieren wir die erste Zeile von der zweiten und von der dritten, so wird daraus

\(\qquad\left( \begin{array} {c c | c} 1 & - 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & - 2 & 6 \end{array} \right)\)

Multiplikation der zweiten Zeile mit \(-1\) ergibt

\(\qquad\left( \begin{array} {c c | c} 1 & - 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & - 2 & 6 \end{array} \right)\)

Addieren wir die zweite Zeile zweimal zur dritten, so erhalten wir

\(\qquad\left( \begin{array} {c c | c} 1 & - 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)\)

Daran erkennen wir, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Die umgeformte augmentierte Matrix gehört nämlich zu dem Gleichungssystem

\(\qquad\begin{array} {r c r c c} r & - & s & = & -1 \\  & & s & = & -2 \\  &  & 0 & = & 2 \end{array}\)

und die letzte Gleichung wird offensichtlich für keine Wahl von \(r\) und \(s\) richtig.

Damit hat auch das Ausgangsgleichungssystem keine Lösung. Also kann es keinen Schnittpunkt der Geraden \(g_1\) und \(g_2\) geben.