Windschiefe Geraden Abstand von parallelen Geraden
Wir betrachten nun zwei Geraden \(g_1 : \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(g_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\) im Raum. Ebene Geraden stellen wir uns dabei als Geraden im Raum vor (mit \(z\)-Komponente \(0\)).
Definition:
Die Größe
\(\qquad d(g_1, g_2) = \text{min} \{ d(P ,g_1) \, \vert \,\, P \in g_2 \}\)
heißt Abstand von \(g_2\) zu \(g_1\).
Der Abstand von \(g_1\) zu \(g_2\) ist also der Abstand des Punktes \(P \in g_2\) von \(g_1\), der \(g_1\) am nächsten ist.
Beachten Sie, dass \(d(g_1, g_2) = d(g_2, g_1)\).
Merke:
Genau dann ist \(d(g_1, g_2) = 0\), wenn \(g_1\) und \(g_2\) (mindestens) einen gemeinsamen Punkt haben.
Wir werden nun im allgemeinen Fall den Punkt auf \(g_2\) finden, der \(g_1\) am nächsten liegt.
Sehr einfach ist dies, wenn \(g_1\) und \(g_2\) parallel sind. In diesem Fall sind nämlich \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) kollinear, und daher gilt für ihr Vektorprodukt
\(\qquad\overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{0}\)
Ist daher \(P\) ein beliebiger Punkt von \(g_2\) und schreiben wir
\(\qquad\overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o_2} + r \cdot \overrightarrow{q_2}\)
mit einer Zahl \(r\), so gilt
\(\qquad\begin{array} {l c l} \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{r}(P) - \overrightarrow{o_1} \right) & = & \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{o_2} + r \cdot \overrightarrow{q_2} - \overrightarrow{o_1} \right) \\ &=& \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \right) + \overrightarrow{q_1} \times \left( r \cdot \overrightarrow{q_2} \right) \\ & = & \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \right) + r \cdot \left( \overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} \right) \\ &=& \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \right) \end{array}\)
Deshalb gilt nach der Formel zur Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Geraden
\(\qquad d(P , g_1) = \dfrac {\left\vert \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{r} (P)- \overrightarrow{o_1} \right) \right\vert} {\left\vert \overrightarrow{q_1} \right\vert } = \dfrac {\left\vert \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \right) \right\vert}{\left\vert \overrightarrow{q_1} \right\vert } \)
Der Abstand hängt also nur noch vom Stützvektor von \(g_2\) ab und nicht vom Punkt selbst.
Merke:
Sind \(g_1\) und \(g_2\) parallel, so haben alle Punkte von \(g_2\) den gleichen Abstand von \(g_1\) und es gilt:
\(\qquad d(g_1, g_2) = \dfrac {\left\vert \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \right) \right\vert}{\left\vert \overrightarrow{q_1} \right\vert }\)
\(\enspace\)