Abstand von parallelen Geraden Abstand von windschiefen Geraden
Untersucht werden muss nun noch der Fall, dass \(g_1\) und \(g_2\) windschief sind. Dazu betrachten wir allgemein die Länge von zwei Geraden im Raum:
\(\qquad g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}, \quad g_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\)
Bei ebenen Geraden denken wir uns eine \(z\)-Komponente \(0\) dazu.
Merke:
- Genau dann sind \(g_1\) und \(g_2\) parallel, wenn \(\overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{0}\).
- Genau dann schneiden sich \(g_1\) und \(g_2\) in genau einem Punkt, wenn \(\overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} \neq \overrightarrow{0}\) und wenn das Spatprodukt \([\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}] = 0\) ist.
- Genau dann sind \(g_1\) und \(g_2\) windschief, wenn das Spatprodukt \([\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}] \neq 0\) ist.
Erläuterung
Wir haben bereits gesehen, dass \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) genau dann kollinear sind, wenn \(\overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{0}\), und das ist gerade die erste Aussage.
Außerdem wissen wir, dass \([\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}] = 0\) gleichbedeutend damit ist, dass \(\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}\), \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2} \) komplanar sind. Falls also \(\overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} \neq \overrightarrow{0}\) (und somit \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) nicht kollinear sind), besagt das, dass \(\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}\) schon in der von \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) aufgespannten Ebene liegen muss:
\(\qquad\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} = r \cdot \overrightarrow{q_1} + s \cdot \overrightarrow{q_2}\)
und damit
\(\qquad\overrightarrow{o_2} + (-s) \cdot \overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{o_1} + r \cdot \overrightarrow{q_1}\)
Die linke Seite beschreibt aber den Ortsvektor eines Punktes auf \(g_2\) und die rechte den Ortsvektor eines Punktes auf \(g_1\), sodass die beiden Geraden einen Punkt gemeinsam haben müssen.
Ist umgekehrt \(P\) der Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\), so können wir sowohl
\(\qquad\overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o_1} + r \cdot \overrightarrow{q_1}\)
als auch
\(\qquad\overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o_2} + s \cdot \overrightarrow{q_2} \)
schreiben. Daraus folgt aber dann, dass
\(\qquad\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} = r \cdot \overrightarrow{q_1} - s \cdot \overrightarrow{q_2}\)
also dass \(\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}\), \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) komplanar sind, was bedeutet, dass
\(\qquad [\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}] = 0\)
Wenn \(g_1\) und \(g_2\) nicht parallel sind, muss auch noch \(\overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} \neq \overrightarrow{0}\) gelten, sodass jetzt auch die zweite Aussage nachgerechnet ist.
Die dritte Aussage ergibt sich jetzt aus den ersten beiden. Beachten Sie dabei, dass
\(\qquad [\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}] = \langle \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} \rangle\)
dass also aus \(\overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{0}\) automatisch \([\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}] = 0\) folgt.
Das Spatprodukt \([\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}]\) kann also anzeigen, ob zwei Geraden windschief sind oder nicht. Es liefert darüber hinaus sogar eine Formel (die wir nicht herleiten wollen) zum Abstand von zwei windschiefen Geraden.
Merke:
Sind die beiden Geraden \(g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(g_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\) windschief, so ist der Abstand von \(g_2\) zu \(g_1\) gegeben durch
\(\qquad d(g_1, g_2) = \dfrac {\left\vert [\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}] \right\vert}{ \left\vert \overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} \right\vert}\)
\(\enspace\)