Wir betrachten die beiden Geraden \(g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(g_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\), wobei

\(\qquad\overrightarrow{o_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1\\ 1 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{o_2} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right)\)

Offensichtlich ist \(\overrightarrow{q_2} = (-2) \cdot \overrightarrow{q_1}\), und damit sind \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) kollinear. Daher sind \(g_1\) und \(g_2\) parallel.

Um den Abstand von \(g_1\) und \(g_2\) zu bestimmen, benötigen wir

\(\qquad\overrightarrow{q_1} \times \left(\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}\right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right)\)

Damit gilt

\(\qquad \left\vert \overrightarrow{q_1} \times \left(\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}\right) \right\vert = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{24} = 2 \cdot \sqrt{6}\)

Ferner ist

\(\qquad \left\vert \overrightarrow{q_1} \right\vert = \sqrt{1^2 +(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)

Damit erhalten wir als Abstand

\(\qquad d(g_1, g_2) = \dfrac {\left\vert \overrightarrow{q_1} \times \left(\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}\right) \right\vert}{\left\vert \overrightarrow{q_1}  \right\vert} = \dfrac {2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \sqrt{2} \)

In der 3D-Visualisierung können Sie die Lage der Geraden zueinander betrachten: