Abstand von Geraden: Beispiel 2 Abstand von Geraden: Beispiel 3
Wir betrachten die beiden Geraden \(g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1} \)und \(g_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\), wobei
\(\qquad\overrightarrow{o_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{o_2} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right)\)
Offensichtlich sind \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) nicht kollinear (da sie in der ersten Komponente übereinstimmen, müssten sie sonst in allen Komponenten übereinstimmen), daher sind \(g_1\) und \(g_2\) entweder windschief oder sie schneiden sich in genau einem Punkt. Um das zu entscheiden, benutzen wir wieder die Formeln mit dem Spatprodukt:
Zunächst ist
\(\qquad\overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)\)
woraus
\(\qquad\left\vert \overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} \right\vert = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14}\)
folgt. Außerdem erhalten wir daraus
\(\qquad\left[ \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2} \right] = \left\langle \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right), \, \left( \begin{matrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \right\rangle = -8 \)
Das Spatprodukt ist also von \(0\) verschieden, weshalb die beiden Geraden windschief sind. Sie sind also insbesondere nicht parallel und haben keinen Schnittpunkt. Nun gilt weiter
\(\qquad\left\vert \left[ \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2} \right] \right\vert = 8\)
Damit können wir nun den Abstand der beiden Geraden berechnen. Es gilt nämlich
\(\qquad d(g_1, g_2) = \dfrac {\left\vert \left[ \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2} \right] \right\vert}{\left\vert \overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} \right\vert} = \dfrac {8}{\sqrt{14}} = \dfrac {4}{7} \cdot \sqrt{14} \)
Auch hier wäre es möglich, mithilfe eines Gleichungssystems explizit zu berechnen, dass die beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben. Das ist aber sehr viel umständlicher und langwieriger, und selbst dann haben wir den Abstand der beiden Geraden noch nicht bestimmt.
Berechnung ohne Spatprodukt
Ein Punkt \(P\) ist ein Schnittpunkt von \(g_1\) und \(g_2\), wenn es Zahlen \(r\) und \(s\) gibt mit
\(\qquad\overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o_1} + r \cdot \overrightarrow{q_1}, \qquad \overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o_2} + s \cdot \overrightarrow{q_2}\)
wenn es also Zahlen \(r\) und \(s\) gibt mit
\(\qquad\overrightarrow{o_1} + r \cdot \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{o_2} + s \cdot \overrightarrow{q_2}\)
bzw. mit
\(\qquad r \cdot \overrightarrow{q_1} - s \cdot \overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}\)
Komponentenweise geschrieben ergibt das ein Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c c} r & - & s & = & \,2 \\ r & - & 2s & =& \,0 \\ r & + & s & = & -2 \end{array}\)
mit augmentierter Matrix
\(\qquad\left( \begin{array} {c c | c} 1 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{array} \right)\)
Subtrahieren wir die erste Zeile dieser Matrix von der zweiten und von der dritten, wird daraus
\(\qquad\left( \begin{array} {c c | c} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \end{array} \right)\)
Multiplizieren wir jetzt die zweite Zeile mit \(-1\), so erhalten wir
\(\qquad\left( \begin{array} {c c | c} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \end{array} \right)\)
Subtrahieren wir schließlich die zweite Zeile zweimal von der dritten, so gibt das
\(\qquad \left( \begin{array} {c c | c} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -8 \end{array} \right)\)
Dazu gehört das reduzierte Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c c} r & - & s & = & 1 \\ & & s & =& 2 \\ & & 0 & = & -8 \end{array}\)
das offensichtlich keine Lösung hat, denn die letzte Gleichung ist für keine Wahl von \(r\) und \(s\) erfüllt. Es gibt somit keinen Schnittpunkt der Geraden \(g_{1}\) und \(g_{2}\), weshalb sie windschief sein müssen (da sie ja auch nicht parallel sind).
In der 3D-Visualisierung können Sie die Lage der Geraden zueinander betrachten:
\(\enspace\)