Die beiden Geraden sind parallel und es ist

\(\qquad d(g_1,g_2) = \sqrt{3} \)

Die Gerade \(g_1\) hat die Darstellung \(g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\), mit Stütz- und Richtungsvektoren, wobei

\(\qquad \overrightarrow{o_1} = \overrightarrow{r}(A) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{matrix} \right)  \)

Damit \(g_2\) parallel zu \(g_1\) ist, muss der Richtungsvektor \(\overrightarrow{q_2}\) von \(g_2\) kollinear zu \(\overrightarrow{q_1}\) sein. Hier ist aber ersichtlich, dass \(\overrightarrow{q_1} = (-1) \cdot \overrightarrow{q_2}\) ist, und damit sind die beiden Richtungsvektoren kollinear. Also ist \(g_2\) parallel zu \(g_1\).

Da \(g_1\) und \(g_2\) parallel sind, gilt für ihren Abstand

\(\qquad d(g_1,g_2) = \dfrac {\left\vert \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \right) \right\vert}{\left\vert \overrightarrow{q_1} \right\vert }\)

Es gilt

\(\qquad \overrightarrow{q_1} \times (\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}) = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ -1 \end{matrix} \right)  \)

und damit

\(\qquad d(g_1, g_2)=\dfrac {\sqrt{5^2+4^2+(-1)^2}}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-3)^2}}=\dfrac {\sqrt{42}}{\sqrt{14}}=\sqrt{3}  \)

Beachten Sie, dass es natürlich auch möglich ist, die Rollen von \(g_1\) und \(g_2\) zu vertauschen und \(d(g_2, g_1)\) zu ermitteln. Die Rechnungen sind sehr ähnlich (und führen natürlich zum gleichen Ergebnis).