Aufgabe 2 Aufgabe 3
Wir betrachten die Gerade \(g_1\) durch die beiden Punkte \(\qquad A = (-1 \vert \, 1 \, \vert \, 2), \quad B = ( 3\, \vert \, 3 \, \vert \, 0)\) und den Punkt \(P = ( 2\, \vert \, 2 \, \vert \, 4)\). Konstruieren Sie eine Gerade \(g_2\) durch \(P\), die parallel zu \(g_1\) ist, und bestimmen Sie den Abstand von \(g_2\) zu \(g_1\). Erklärung Lösung: Die gesuchte Gerade hat die Gestalt \(\qquad g_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\) wobei \(\qquad \overrightarrow{o_2} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \) und es ist \(\qquad d(g_1,g_2) =\dfrac {\sqrt{59}}{\sqrt{6}} \approx 3.14\) Erläuterung: Die Gerade \(g_1\) hat die Darstellung \(g_1:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\), mit Stütz- und Richtungsvektoren, wobei \(\qquad \overrightarrow{o_1} = \overrightarrow{r}(A) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \) Damit \(g_2\) parallel zu \(g_1\) ist, muss der Richtungsvektor \(\overrightarrow{q_2}\) von \(g_2\) kollinear zu \(\overrightarrow{q_1}\) sein. Am einfachsten ist es daher, gleich \(\overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{q_1}\) zu nehmen. Außerdem muss der Punkt \(P\) auf \(g_2\) liegen, und daher kann sein Ortsvektor \(\overrightarrow{r}(P)\) als Stützvektor benutzt werden. Die gesuchte Gerade hat also die Gestalt \(\qquad g_2:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2}\) wobei \(\qquad \overrightarrow{o_2} = \overrightarrow{r}(P) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \overrightarrow{q_1} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \) Natürlich sind aber auch noch viele andere Darstellungen möglich, die Gerade selbst ist jedoch eindeutig bestimmt. Hätten wir etwa für\( \overrightarrow{q_1}\) den Vektor \(\qquad\overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{BA} = \left( \begin{matrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \) gewählt, so könnten wir für \(g_2\) auch schreiben \(\qquad g_2:\overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \) Auch für den Stützvektor sind andere Darstellungen möglich. Da \(g_1\) und \(g_2\) parallel sind, gilt für ihren Abstand \(\qquad d(g_1,g_2) = \dfrac {\left\vert \overrightarrow{q_1} \times \left( \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \right) \right\vert}{\left\vert \overrightarrow{q_1} \right\vert }\) Es gilt \(\qquad \overrightarrow{q_1} \times (\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \,\,6 \\ -14 \\ \,-2 \end{matrix} \right) \) und damit \(\qquad d(g_1, g_2) = \dfrac {\sqrt{6^2 + (-14)^2 + (-2)^2}}{\sqrt{4^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \dfrac {\sqrt{236}}{\sqrt{24}} = \dfrac {\sqrt{59}}{\sqrt{6}} \approx 3.14 \) |  |
\(\enspace\)