Aufgabe 3 Aufgabe 4
Wir betrachten die Gerade \(g_1\) durch die Punkte \(\qquad A = ( 6 \, \vert \, 5 \, \vert \,4 ) \) und \(B = ( 4 \, \vert \,3 \, \vert 5 )\) und die Gerade \(g_2:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_2} \), wobei \(\qquad \overrightarrow{o_2} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \) Untersuchen Sie, ob die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) parallel sind oder ob sie sich schneiden oder ob sie windschief sind. Bestimmen Sie den Abstand von \(g_1\) und \(g_2\). Erklärung Lösung: Die Gerade \(g_1\) und \(g_2\) sind windschief. Ihr Abstand ist \(\qquad d(g_1, g_2) = \dfrac {\sqrt{5}}{5} \approx 0.45 \) Erläuterung: Zunächst notieren wir, dass die Gerade \(g_1\) gegeben ist durch \(g_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{q_1}\), wobei \(\qquad \overrightarrow{o_1} = \overrightarrow{r}(A) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right)\) Da \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{q_2}\) offensichtlich nicht kollinear sind, sind \(g_1\) und \(g_2\) nicht parallel. Es ist \(\qquad \overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ \,5 \\ \,2 \end{matrix} \right) \) Damit ist \(\qquad\left[\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1}, \overrightarrow{q_2}\right] = \left\langle \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2}\right\rangle = \left\langle \left( \begin{matrix} -5 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} -4 \\ \,5 \\ \,2 \end{matrix} \right)\right\rangle = 3 \neq 0\) und daher schneiden sich \(g_1\) und \(g_2\) nicht, sondern sind windschief. Ihr Abstand berechnet sich also nach der Formel \(\qquad d(g_1, g_2) = \dfrac {\left\vert \left[\overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1}, \overrightarrow{q_1} , \overrightarrow{q_2}\right] \right\vert }{ \left\vert \overrightarrow{q_1} \times \overrightarrow{q_2}\right\vert} = \dfrac {3}{\sqrt{45}} = \dfrac {1}{\sqrt{5}} = \dfrac {\sqrt{5}}{5}\approx 0.45 \) Beachten Sie, dass die Tatsache, dass \(g_1\) und \(g_2\) windschief sind, auch darüber nachgewiesen werden kann, dass (mithilfe eines Gleichungssystems) gezeigt wird, dass die beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben. Die entsprechenden Rechnungen sind jedoch eher länglich. Außerdem muss dann trotzdem für die Abstandsbestimmung das Spatprodukt ermittelt werden. |  |
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