Aufgabe 4 Ebenen
Anschaulich ist klar, was unter einer Ebene (im Raum) zu verstehen ist. Geometrisch ist sie schon festgelegt durch drei Punkte (falls diese nicht alle auf einer Geraden liegen).
Definition:
Die Ebene \(E=E_{A,B,C}\) durch die drei Punkte \(A = (a_1 \, \vert \, a_2 \, \vert \, a_3)\), \(B = (b_1 \, \vert \, b_2 \, \vert \, b_3) \) und \(C = (c_1 \, \vert \, c_2 \, \vert \, c_3)\) ist die Menge
\(\qquad \begin{array} {r l} E = \left\{ \left( a_1 + r \cdot (b_1 -a_1) + s \cdot (c_1 -a_1) \! \right. \right. & \hspace{-0.7em} \vert \hspace{-1.0em} & \hspace{-0.8em} a_2 + r \cdot (b_2 - a_2) + s \cdot (c_2 - a_2) \, \vert \\ & & \left. \left. \hspace{-0.8em} a_3 + r \cdot (b_3-a_3) + s \cdot (c_3-a_3) \right) \, \big\vert \,\, r, s \in \mathbb R \right\} \end{array} \)
Beispiel:
In der 3D-Visualisierung können Sie die Lage von \(A\), \(B\), \(C\) und \(E\) im Raum betrachten. Ziehen Sie dafür mit gedrückter Maustaste über die Abbildung:
Die Ebene durch die drei Punkte \(A = ({-3} \, \vert \,{-3} \, \vert \,{-1})\), \(B = (6\,\vert \, 1 \, \vert \, 0)\) und \(C = (3\,\vert \, 4 \, \vert \, 4)\) besteht aus allen Punkten der Form
\(\qquad T = ({-3} + 9 \cdot r + 6 \cdot s \,\vert\,{-3} + 4 \cdot r +7 \cdot s \, \vert\, {-1} + r + 5 \cdot s) \)
mit reellen Zahlen \(r\) und \(s\). Sie ist also die Menge
\(\qquad E = E_{A,B,C} = \left\{ ({-3} + 9 \cdot r + 6 \cdot s \,\vert\,{-3} + 4 \cdot r +7 \cdot s \, \vert\, {-1} + r + 5 \cdot s) \, \big\vert \,\, r, s \in \mathbb R \right\}\)
Merke:
Die Reihenfolge der Punkte spielt für die Beschreibung der Ebene keine Rolle.
\(\qquad E_{C,B,A} = \left\{ (3 + 3 \cdot r - 6 \cdot s \,\vert\, 4 -3 \cdot r -7 \cdot s \, \vert\, 4 - 4 \cdot r - 5 \cdot s) \, \big\vert \,\, r, s \in \mathbb R \right\}\)
ergibt ebenfalls die Ebene \(E = E_{A,B,C}\). Dies gilt auch für jede andere Wahl von drei nicht kollinearen Punkten in \(E\).
\(\enspace\)