Ebenen Ebenen und Richtungsvektoren
An der Beschreibung einer Ebene \(E\) durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) sehen wir schon, dass – ähnlich wie bei Geraden – auch Ebenen mit Hilfe von Vektoren beschrieben werden können. Für jeden Punkt \(T \in E\) lässt sich der Ortsvektor \(\overrightarrow{r}(T)\) schreiben als
\(\qquad \overrightarrow{r}(T) = \overrightarrow{r}(A) + r \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}\)
(mit passenden Zahlen \(r\) und \(s\)).
Umgekehrt liegt auch jeder Punkt \(T\), dessen Ortsvektor sich so beschreiben lässt, in der Ebene \(E\). Schreiben wir
\(\qquad\overrightarrow{o} = \overrightarrow{r}(A)\), \(\overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{q} = \overrightarrow{AC}\)
so besteht die Ebene \(E\) also genau aus den Punkten \(T\), deren Ortsvektoren sich in dieser Form schreiben lassen:
\(\qquad\overrightarrow{r}(T) = \overrightarrow{o} + r \cdot \overrightarrow{p} + s \cdot \overrightarrow{q}\)
(für reelle Zahlen \(r\) und \(s\)).
Definition:
Wir schreiben kurz
\(\qquad E : \overrightarrow{x}= \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\)
und nennen das die Darstellung von \(E\) mit Stützvektor \( \overrightarrow{o}\) und Richtungsvektoren \(\overrightarrow{p}\) und \(\overrightarrow{q}\).
Umgekehrt spannt jeder Vektor \(\overrightarrow{o}\) zusammen mit zwei nicht kollinearen Vektoren \(\overrightarrow{p}\) und \(\overrightarrow{q}\) eine Ebene \(E\) auf, die aus den Punkten \(T\) besteht, die einen Ortsvektor der folgenden Form haben:
\(\qquad \overrightarrow{r}(T) = \overrightarrow{o} + r \cdot \overrightarrow{p} + s \cdot \overrightarrow{q}\)
(für reelle Zahlen \(r\) und \(s\)).
Auch für diese Ebene schreiben wir kurz
\(\qquad E : \overrightarrow{x}= \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\)
und nennen \(\overrightarrow{o}\) den Stützvektor und \(\overrightarrow{p}\) und \(\overrightarrow{q}\) die Richtungsvektoren von \(E\).
Beispiel:
Die Ebene durch die drei Punkte \(A = (-\!3 \, \vert \!-\!3 \, \vert \!-\!1)\), \(B = (6\,\vert \, 1 \, \vert \, 0)\) und \(C = (3\,\vert \, 4 \, \vert \, 4)\) kann dargestellt werden in der Form
\(\qquad E: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} -3 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right)\)
\(E\) hat also den Stützvektor \(\overrightarrow{o} = \left( \begin{matrix} -3 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right)\)
und die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{p} = \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{q} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right)\)
\(\enspace\)