Ebenen und Normalenvektoren Ebenengleichungen
Wir betrachten eine Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\) mit Normalenvektor \(\overrightarrow{n_E} = \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} \) und einen beliebigen Punkt \(P\) in der Ebene \(E\). Dann hat der Ortsvektor von \(P\) eine Darstellung
\(\qquad\overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o} + r \cdot \overrightarrow{p} + s \cdot \overrightarrow{q}\)
mit Zahlen \(r\) und \(s\), und wir erhalten mit \(\langle\overrightarrow{n_{E}},\overrightarrow{p}\rangle=\langle\overrightarrow{n_{E}},\overrightarrow{q}\rangle=0\) (weil \(\overrightarrow{n_{E}}\) senkrecht auf \(\overrightarrow{p}\) und \(\overrightarrow{q}\) steht)
\(\qquad\begin{array} {l c l} \langle \overrightarrow{n_E} , \overrightarrow{r}(P) \rangle & = & \langle \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}, \overrightarrow{o} + r \cdot \overrightarrow{p} + s \cdot \overrightarrow{q} \rangle \\ & = & \langle \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}, \overrightarrow{o}\rangle + r \cdot \langle \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}, \overrightarrow{p} \rangle + s \cdot \langle \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}, \overrightarrow{q} \rangle \\ & = & \langle \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}, \overrightarrow{o} \rangle \\ & = & \langle \overrightarrow{n_E}, \overrightarrow{o} \rangle \end{array} \)
Dieses Skalarprodukt ist also nicht abhängig von \(r\) und \(s\), sondern nur von \(\overrightarrow{o}\) (und dem Normalenvektor) und hat für jeden Punkt auf \(E\) den gleichen Wert. Setzen wir also \(d = \langle \overrightarrow{n_E}, \overrightarrow{o}\rangle\), so gilt für jeden Punkt \(P\) in \(E\):
\(\qquad \langle \overrightarrow{n_E} , \overrightarrow{r}(P) \rangle = d\)
Umgekehrt ist aber auch jeder Punkt \(P\), für den
\(\qquad \langle \overrightarrow{n_E} , \overrightarrow{r}(P) \rangle = d\)
gilt, in dieser Ebene \(E\) (denn die Lösungsmenge dieser Gleichung bildet eine Ebene, von der wir schon wissen, dass sie \(E\) enthält, also muss sie gleich \(E\) sein).
Merke:
Ist \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\) eine Ebene mit Normalenvektor \(\overrightarrow{n_E} = \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} \), ist
\(\qquad\overrightarrow{n_E} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right)\)
die Komponentendarstellung von \(\overrightarrow{n_E}\) und ist \(d = \langle \overrightarrow{n_E}, \overrightarrow{o} \rangle\), so ist \(E\) die Lösungsmenge der Gleichung
\(\qquad a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d\)
es gilt also
\(\qquad E = \left\{ (x \, \vert \, y \, \vert \, z) \, \big\vert \,\, a\cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d \right\}\)
Beispiel:
Die Ebene \(E\) durch die drei Punkte \(A = ({-3} \, \vert \,{-3} \, \vert \,{-1})\), \(B = (6\,\vert \, 1 \, \vert \, 0)\) und \(C = (3\,\vert \, 4 \, \vert \, 4)\) hat eine Darstellung der Form
\(\qquad E: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} -3 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right)\)
und den Normalenvektor
\(\qquad \overrightarrow{n_E} = \left( \begin{matrix} 13 \\ -39 \\ 39 \end{matrix} \right)\)
(wie wir schon gesehen haben). Damit ist
\(\qquad \langle \overrightarrow{n_E}, \overrightarrow{o} \rangle = (-3) \cdot 13 + (-3) \cdot (-39) + (-1) \cdot 39 = 39\)
und daher ist \(E\) die Lösungsmenge der Gleichung
\(\qquad 13 \cdot x - 39 \cdot y + 39 \cdot x = 39\)
\(\enspace\)