Ebenengleichungen Parallele Ebenen
Wir betrachten nun zwei Ebenen \(E_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_1} + \mu \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(E_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_2} + \mu \cdot \overrightarrow{q_2}\). Intuitiv ist klar, was es bedeutet, dass \(E_1\) und \(E_2\) parallel sind. Die exakte Formulierung ist aber etwas umständlich.
Definition:
Die beiden Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) heißen parallel, wenn es Zahlen \(s_{1,1}\), \(s_{1,2}\), \(s_{2,1}\) und \(s_{2,2}\) gibt mit
\(\qquad \begin{array} {l c r c r} \overrightarrow{p_2} & = & s_{1,1} \cdot \overrightarrow{p_1} & + & s_{1,2} \cdot \overrightarrow{q_1} \\ \overrightarrow{q_2} & = & s_{2,1} \cdot \overrightarrow{p_1} & + & s_{2,2} \cdot \overrightarrow{q_1} \end{array} \)
Die Definition besagt, dass \(\overrightarrow{p_1}\), \(\overrightarrow{q_1}\) und \(\overrightarrow{p_2}\), \(\overrightarrow{q_2}\) jeweils die gleiche Ebene erzeugen. Die Stützvektoren geben an, wie diese Ebene jeweils aus der Nulllage verschoben ist.
Beispiel:
Die beiden Ebenen
\(\qquad E_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda\cdot\overrightarrow{p_1}+\mu\cdot\overrightarrow{q_1} = \left( \begin{matrix} -3 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right)\)
und
\(\qquad E_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda\cdot\overrightarrow{p_2} + \mu\cdot\overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right)\)
sind parallel. Es gilt nämlich
\(\qquad \left( \begin{matrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right) \)
und
\(\qquad \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right)\)
Diese Charakterisierung von parallel ist sehr umständlich und schwierig nachzurechnen. Einfacher ist die Betrachtung der Normalenvektoren. In der 3D Visualisierung können Sie sehen, dass \(E_1\) und \(E_2\) parallel zueinander sind, und dass ihre Normalenvektoren kollinear sind und senkrecht auf \(E_1\) und \(E_2\) stehen:
Allegemein lässt sich sagen: Erzeugen die Richtungsvektoren von zwei Ebenen die gleiche Ebene, so steht auch die gleiche Richtung darauf senkrecht (und umgekehrt).
Merke:
Zwei Ebenen \(E_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_1} + \mu \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(E_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_2} + \mu \cdot \overrightarrow{q_2}\) mit Normalenvektoren \( \overrightarrow{n_{E_1}}\) und \(\overrightarrow{n_{E_2}}\) sind genau dann parallel, wenn \( \overrightarrow{n_{E_1}}\) und \(\overrightarrow{n_{E_2}}\) kollinear sind.
Beispiel:
Die beiden Ebenen
\(\qquad E_1: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} -3 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right)\)
und
\(\qquad E_2: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right)\)
haben die Normalenvektoren
\(\qquad \overrightarrow{n_{E_1}} = \left( \begin{matrix} 13 \\ -39 \\ 39 \end{matrix} \right) \, \) und \( \, \overrightarrow{n_{E_2}} = \left( \begin{matrix} -26 \\ 78 \\ -78 \end{matrix} \right) \)
wie wir schon gesehen haben. Da \(\,\overrightarrow{n_{E_2}} = (-2) \cdot \overrightarrow{n_{E_1}}\), ist (nochmal) gezeigt, dass \(E_1\) und \(E_2\) parallel sind.
\(\enspace\)