Parallele Ebenen Abstand paralleler Ebenen
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene wird vollkommen analog zum Abstand eines Punktes von einer Geraden erklärt. Wir betrachten dazu einen Punkt \(P\) und eine Ebene \(E: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\).
Definition:
\(\qquad d(P,E) = \text{min} \{ d(P,Q) \, \vert \,\, Q \in E \}\) heißt der Abstand von \(P\) zur Ebene \(E\).
Der Abstand \(d(P,E)\) von \(P\) zur Ebene \(E\) ist der Abstand von \(P\) zu demjenigen Punkt \(Q \in E\), der \(P\) am nächsten liegt. Dieser Punkt \(Q\) kann aber (wie beim Abstand eines Punktes von einer Geraden) leicht bestimmt werden:
- Fälle das Lot von \(P\) auf die Ebene \(E\) und bezeichne den Fußpunkt des Lots mit \(Q\)
- \(d(P,E) = \vert \overrightarrow{PQ} \vert \).
Merke:
Für einen Punkt \(P\) und eine Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\) ist
\(\qquad d(P,E) = \dfrac {\vert \langle \overrightarrow{n_E} , \overrightarrow{r}(P) - \overrightarrow{o} \rangle \vert}{\vert \overrightarrow{n_E} \vert} \)
Wir betrachten nun zwei Ebenen \(E_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_1} + \mu \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(E_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_2} + \mu \cdot \overrightarrow{q_2}\).
Analog zum Abstand zweier Geraden können wir auch den Abstand von zwei Ebenen definieren.
Definition:
\(d(E_1, E_2) = \text{min}\{ d(P,E_2) \, \vert \,\, P \in E_1 \}\) heißt der Abstand von \(E_1\) und \(E_2\).
Beachten Sie, dass \(d(E_1, E_2) = d(E_2, E_1)\).
Falls \(E_1\) und \(E_2\) parallel sind, hat jeder Punkt \(P\) von \(E_2\) den gleichen Abstand von \(E_1\). Zur Bestimmung von \(d(E_2, E_1)\) kann also ein beliebiger Punkt auf \(E_2\) benutzt werden, etwa der Punkt, der den Ortsvektor \( \overrightarrow{o_2} \) hat. Damit erhalten wir aus obiger Formel:
Merke:
Sind \(E_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_1} + \mu \cdot \overrightarrow{q_1}\) und \(E_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_2} + \mu \cdot \overrightarrow{q_2}\) zwei parallele Ebenen, so ist
\(\qquad d(E_2,E_1) = \dfrac {\left\vert \langle \overrightarrow{n_{E_1}} , \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \rangle \right\vert}{\left\vert \overrightarrow{n_{E_1}} \right\vert } \)
Beispiel:
Die beiden Ebenen
\(\qquad E_1: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} -3 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right)\)
und
\(\qquad E_2 : \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right)\)
sind parallel, wie wir schon gesehen haben. Der Normalenvektor von \(E_1\) ist
\(\qquad\overrightarrow{n_{E_1}} = \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 13 \\ -39 \\ 39 \end{matrix} \right)\)
Daher ist ihr Abstand gegeben durch
\(\qquad d(E_2, E_1) = \dfrac {\left\vert \left\langle \left( \begin{smallmatrix} 13 \\ -39 \\ 39 \end{smallmatrix} \right), \, \left( \begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{smallmatrix} \right) - \left( \begin{smallmatrix} -3 \\ -3 \\ -1 \end{smallmatrix} \right) \right\rangle \right\vert}{\left\vert \left( \begin{smallmatrix} 13 \\ -39 \\ 39 \end{smallmatrix} \right)\right\vert } = \dfrac {\left\vert \left\langle \left( \begin{smallmatrix} 13 \\ -39 \\ 39 \end{smallmatrix} \right), \, \left( \begin{smallmatrix} 4 \\ 6 \\ 6 \end{smallmatrix} \right) \right\rangle \right\vert}{\left\vert \left( \begin{smallmatrix} 13 \\ -39 \\ 39 \end{smallmatrix} \right)\right\vert } = \dfrac {4}{\sqrt{19}} \)
Merke:
Zwei Ebenen \(E_1\) und \(E_2\), die nicht parallel sind, schneiden sich immer in einer Geraden. Sie haben also gemeinsame Punkte, und daher gilt
\(\qquad d(E_1, E_2) = 0\)
\(\enspace\)