Abstand paralleler Ebenen Parallele Ebenen und Geraden
Zum Abschluss untersuchen wir Geraden und Ebenen mit Hilfe der Verfahren, die wir schon kennengelernt haben.
Wir betrachten dazu eine Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\) und eine Gerade \(g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o'} + \lambda \cdot \overrightarrow{q'} \).
Definition:
\(d(g,E) = \text{min} \{ d(P,E) \, \vert \,\, P \in g \}\) heißt der Abstand von \(g\) zu \(E\).
Genau dann ist \(d(g,E) = 0\), wenn \(g\) und \(E\) (mindestens) einen gemeinsamen Punkt haben.
Definition:
Die Gerade \(g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o'} + \lambda \cdot \overrightarrow{q'} \) heißt parallel zur Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\), wenn es reelle Zahlen \(r\) und \(s\) gibt mit
\(\qquad \qquad \overrightarrow{q'} = r \cdot \overrightarrow{p} + s \cdot \overrightarrow{q}\)
Beispiel:
Die Gerade
\(\qquad g: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
ist parallel zur Ebene
\(\qquad E: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} \,3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right)\)
denn
\( \qquad \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) = \dfrac {1}{2} \cdot \left( \begin{matrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) + \dfrac {1}{2} \cdot \left( \begin{matrix} \,3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right) \)
Merke:
Eine Gerade \(g\) ist auch dann parallel zur Ebene \(E\), wenn \(g\) schon ganz in \(E\) enthalten ist.
Bei der Betrachtung von Geraden und Ebenen ist, wie schon bei der Betrachtung von zwei Ebenen, die Benutzung des Normalenvektors hilfreich:
Merke:
Die Gerade \(g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o'} + \lambda \cdot \overrightarrow{q'} \) ist genau dann parallel zur Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\) mit Normalenvektor \(\overrightarrow{n_E}\), wenn \(\langle \overrightarrow{n_E}, \overrightarrow{q'} \rangle = 0\).
Wir wenden nun das Kriterium mit dem Normalenvektor auf die schon bekannten Gerade \(g\) und Ebene \(E\) an:
Beispiel:
Die Gerade
\(\qquad g: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
ist parallel zur Ebene
\(\qquad E: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} \,3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right)\)
denn \(E\) hat den Normalenvektor
\(\qquad \overrightarrow{n_E} = \left( \begin{matrix} -26 \\ \,78 \\ -78 \end{matrix} \right)\)
und
\(\qquad\langle \overrightarrow{n_E}, \overrightarrow{q'} \rangle = (-26) \cdot 9 + 78 \cdot 4 + (-78) \cdot 1 = 0\)
\(\enspace\)