Parallele Ebenen und Geraden Abstand von Ebenen und Geraden
Ist die Gerade \(g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o'} + \lambda \cdot \overrightarrow{q'} \) parallel zur Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\), so hat jeder Punkt von \(g\) den gleichen Abstand von \(E\). Daher kann zur Berechnung des Abstandes \(d(g,E)\) ein beliebiger Punkt auf \(g\) gewählt werden, etwa der mit Ortsvektor \(\overrightarrow{o'}\), und wir erhalten:
Merke:
Ist die Gerade \(g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o'} + \lambda \cdot \overrightarrow{q'} \) parallel zur Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\), so ist
\(\qquad d(g,E) = \dfrac {\vert \langle \overrightarrow{n_{E}} , \overrightarrow{o'} - \overrightarrow{o} \rangle \vert}{\vert\overrightarrow{ n_{E}}\vert} \)
Wir betrachten ein letztes Mal unser Beispiel:
Beispiel:
Die Gerade
\(\qquad g: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
ist parallel zur Ebene
\(\qquad E: \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{matrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{matrix} \right) + \mu \cdot \left( \begin{matrix} \,3 \\ -3 \\ -4 \end{matrix} \right)\)
wie wir oben schon (zweimal) gesehen haben. Ihr Abstand ist daher gegeben durch
\(\qquad d(g, E) = \dfrac {\left\vert \left\langle \left( \begin{smallmatrix} -26 \\ \,78 \\ -78 \end{smallmatrix} \right), \, \left( \begin{smallmatrix} -2 \\ -3 \\ -4 \end{smallmatrix} \right) - \left( \begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{smallmatrix} \right) \right\rangle \right\vert}{\left\vert \left( \begin{smallmatrix} -26 \\ \,78 \\ -78 \end{smallmatrix} \right)\right\vert } = \dfrac {\left\vert \left\langle \left( \begin{smallmatrix} -26 \\ \,78 \\ -78 \end{smallmatrix} \right), \, \left( \begin{smallmatrix} -3 \\ -6 \\ -9 \end{smallmatrix} \right) \right\rangle \right\vert}{\left\vert \left( \begin{smallmatrix} -26 \\ \,78 \\ -78 \end{smallmatrix} \right)\right\vert } = \dfrac {12}{\sqrt{19}} \)
In der 3D-Visualisierung sehen Sie alle Elemente der drei Beispielberechnungen:
- die Gerade \(g\) mit Stützvektor \(\overrightarrow{o'}\) und Richtungsvektor \(\overrightarrow{q'}\),
- die Ebene \(E\) mit Stützvektor \(\overrightarrow{o}\) und Richtungsvektoren \(\overrightarrow{p}\) und \(\overrightarrow{q}\),
- den Normalenvektor \(\overrightarrow{n_E}\),
- sowie den Abstand \(d\).
Merke:
Ist die Gerade \(g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o'} + \lambda \cdot \overrightarrow{q'} \) nicht parallel zur Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\), so schneiden sich \(g\) und \(E\) in genau einem Punkt. Speziell gilt in diesem Fall:
\(\qquad d(g, E) = 0\)
\(\enspace\)