Abstand von Ebenen und Geraden Aufgabe 1
Wir betrachten die Ebene \(E_1\) durch die drei Punkte \(\qquad A = (1\, \vert \, 1 \, \vert \, 2), \quad B = ( 3\, \vert \, 3 \, \vert \, 2), \quad C = ( 2\, \vert \, 3 \, \vert \, 5)\) und die Ebene \(E_2: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_2} + \mu \cdot \overrightarrow{q_2}\), wobei \(\qquad \overrightarrow{o_2} = \left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{p_2} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -9 \end{matrix} \right) \) Überprüfen Sie, ob die beiden Ebenen parallel sind, und bestimmen Sie ihren Abstand. Erklärung Lösung: Die beiden Ebenen sind parallel und ihr Abstand ist \(\qquad d(E_1, E_2) = \dfrac {4}{\sqrt{19}} \approx 0.92 \) Erläuterung: Die Ebene \(E_1\) hat die Darstellung \(E_1: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{p_1} + \mu \cdot \overrightarrow{q_1}\), mit Stütz- und Richtungsvektoren, wobei \(\qquad \overrightarrow{o_1} = \overrightarrow{r}(A) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{p_1} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q_1} = \overrightarrow{AC} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \) Damit erhalten wir die Normalenvektoren \(\qquad \overrightarrow{n_{E_1}} = \overrightarrow{p_1} \times \overrightarrow{q_1} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \,6 \\ -6 \\ 2 \end{matrix} \right)\) und \(\qquad\overrightarrow{n_{E_2}} = \overrightarrow{p_2} \times \overrightarrow{q_2} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -9 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -24 \\ \,24 \\ \,-8 \end{matrix} \right)\) Wir sehen sofort, dass \(\qquad \overrightarrow{n_{E_2}} = (-4) \cdot \overrightarrow{n_{E_1}}\) also sind die Normalenvektoren kollinear, und damit sind \(E_1\) und \(E_2\) parallel. Da die beiden Ebenen parallel sind, ist ihr Abstand gegeben durch \(\qquad d(E_2,E_1) = \dfrac {\left\vert \langle \overrightarrow{n_{E_1}} , \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \rangle \right\vert}{\left\vert \overrightarrow{n_{E_1}} \right\vert } \) Dabei ist \(\qquad \langle \overrightarrow{n_{E_1}} , \overrightarrow{o_2} - \overrightarrow{o_1} \rangle = \left\langle \left( \begin{matrix} \,6 \\ -6 \\ 2 \end{matrix} \right) , \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \right\rangle = 8\) Also gilt \(\qquad d(E_2,E_1) = \dfrac {8}{\sqrt{6^2 + (-6)^2 +2^2}} = \dfrac {8}{\sqrt{76}} = \dfrac {4}{\sqrt{19}} \approx 0.92 \) |  |
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