Aufgabe 2 Aufgabe 3
Wir betrachten die Ebene \(E\), die gegeben ist durch die Ebenengleichung \(\qquad x + 2y + 3z = 4 \) Bestimmen Sie eine Darstellung \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q} \) mit Stütz- und Richtungsvektoren. Erklärung Lösung: Die Ebene \(E\) ist gegeben durch \(\qquad E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q},\) wobei \(\qquad \overrightarrow{o} = \overrightarrow{r}(A) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q} = \overrightarrow{AC} = \left( \begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) Erläuterung: Beachten Sie, dass wir lineare Gleichungssysteme, die nur aus einer Gleichung bestehen, im Lernmodul lineare Gleichungssysteme schon explizit behandelt haben. Wenden wir diese Techniken hier an, so erhalten wir, dass die Lösung von \(\qquad x + 2y + 3 z = 4\) von der Form \(y = r\), \(z = s\) und \(x = 4 - 2r - 3s\) mit beliebig wählbaren Zahlen \(r\) und \(s\) ist. Damit können wir nun leicht drei Punkte bestimmen, die die Ebenengleichung erfüllen:
Diese drei Punkte liegen offensichtlich nicht auf einer Geraden, legen also die gesamte Ebene schon fest. Damit erhalten wir \(\qquad E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q},\) wobei \(\qquad \overrightarrow{o} = \overrightarrow{r}(A) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q} = \overrightarrow{AC} = \left( \begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) Natürlich gibt es aber auch noch sehr viele andere Darstellungen dieser Ebenen. |  |
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