Aufgabe 3 Aufgabe 4
Wir betrachten die Gerade \(g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{o'} + \lambda \cdot \overrightarrow{q'}\), wobei \(\qquad \overrightarrow{o'} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q'} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} \right)\) und die Ebene \(E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{o} + \lambda \cdot \overrightarrow{p} + \mu \cdot \overrightarrow{q}\), wobei \(\qquad \overrightarrow{o} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{p} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{q} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) Untersuchen Sie, ob die Gerade \(g\) parallel zur Ebene \(E\) ist oder ob die Gerade die Ebene schneidet. Bestimmen Sie den Abstand von \(g\) und \(E\) (falls sie parallel sind) oder den Schnittpunkt von \(g\) und \(E\) (falls sie nicht parallel sind). Erklärung Lösung: Die Gerade \(g\) und die Ebene \(E\) sind nicht parallel. Sie schneiden sich in genau einem Punkt \(P\), nämlich \(\qquad P = ( 0 \, \vert \, {-1} \, \vert \,{-3} ) \) Erläuterung: Der Normalenvektor der Ebene \(E\) ist \(\qquad \overrightarrow{n_{E}} = \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \,1 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right) \) Damit ist \(\qquad \langle \overrightarrow{n_{E}} , \overrightarrow{q'} \rangle = -5 \neq 0\) und daher ist \(g\) nicht parallel zu \(E\). Ist \(P\) ein Schnittpunkt von \(g\) und \(E\), so gibt es Zahlen \(r\), \(s\) und \(t\) mit \(\qquad \overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o} + r \cdot \overrightarrow{p} + s \cdot \overrightarrow{q} \) und \(\qquad \overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o'} + t \cdot \overrightarrow{q'}\) Damit gilt für diese Zahlen speziell \(\qquad\overrightarrow{o} + r \cdot \overrightarrow{p} + s \cdot \overrightarrow{q} = \overrightarrow{o'} + t \cdot \overrightarrow{q'}\) bzw. \(\qquad r \cdot \overrightarrow{p} + s \cdot \overrightarrow{q} - t \cdot \overrightarrow{q'} = \overrightarrow{o'} - \overrightarrow{o}\) Komponentenweise betrachtet bedeutet das, dass \(r\), \(s\) und \(t\) Lösungen des folgenden Gleichungssystems sind: \(\qquad\begin{array} {r c r c r c l} r & + & s & - & t & = & -2 \\ r & & & - & 2 \cdot t & = & -3 \\ & & s & - & 4\cdot t & = & \,6 \end{array} \) Wir lösen dieses Gleichungssystem mit dem im Abschnitt über Gleichungssysteme behandelten Additionsverfahren (in Matrizenform) und betrachten die zugehörige augmentierte Matrix \(\qquad\left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & -4 & 6 \end{array} \right) \) Subtrahieren wir die erste Zeile von der zweiten, so erhalten wir \(\qquad\left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 6 \end{array} \right) \) Multiplizieren wir die zweite Zeile mit \(-1\) und subtrahieren das Ergebnis von der dritten Zeile, so gibt das \(\qquad\left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & 5 \end{array} \right) \) Teilen wir die dritte Zeile durch \(-5\), so führt das zu \(\qquad\left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \) Hierzu gehört das reduzierte Gleichungssystem \(\qquad\begin{array} {r c r c r c l} r & + & s & - & t & = & -2 \\ & & s & + & t & = & \,\,1 \\ & & & & t & = & -1 \end{array} \) Durch Rückwärtsrechnen sehen wir, dass dieses System die eindeutige Lösung \(\qquad t = -1, \quad s = 2, \quad r = -5\) hat. Damit gibt es genau einen Schnittpunkt \(P\) mit \(\qquad\overrightarrow{r}(P) = \overrightarrow{o} + (-5) \cdot \overrightarrow{p} + 2 \cdot \overrightarrow{q} = \overrightarrow{o'} + (-1) \cdot \overrightarrow{q'} = \left( \begin{matrix} \,0 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) \) Der Schnittpunkt ist also \(P = ( 0 \, \vert \,{-1} \, \vert \,{-3} ) \). |  |
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