Einleitung in das Themengebiet Physikalische Herleitung
Das Skalarprodukt \(\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle\) von zwei Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) ist eine Multiplikation von zwei Vektoren, deren Ergebnis ein Skalar ist, also eine reelle Zahl. Dieser Wert gibt uns Aufschluss über die Lage von \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) zueinander; darum ist ein wichtiges Einsatzgebiet des Skalarprodukts die Winkelberechnung.
In der Physik kann mit Hilfe des Skalarprodukts, manchmal auch inneres Produkt genannt, unter anderem die (skalare) Größe mechanische Arbeit \(W\) berechnet werden.
Beispiel:
Ein Objekt (ein Waggon) wird auf einem Weg (einer Eisenbahnschiene) von einem Zugpferd gezogen. Die Arbeit \(W\) (gemessen in Joule \( \mathrm{J}\)), die auf den Waggon wirkt, lässt sich aus dem Kraftvektor \(\overrightarrow {F}\) und dem Verschiebungsvektor \( \overrightarrow {s}\) berechnen. Sind \(\overrightarrow {F}\) und \(\overrightarrow {s}\) parallel, so gilt die bekannte Regel: Arbeit = Kraft mal Weg.
Im dargestellten Fall läuft das Pferd aber versetzt neben den Schienen her, Kraftvektor \(\overrightarrow{F}\) und Verschiebungsvektor \(\overrightarrow{s}\) sind also nicht parallel und die Formel lautet nun: Arbeit = Kraft in Wegrichtung mal Weg.
Es trägt also nur der Teil des Kraftvektors zur Arbeit bei, der parallel zum Verschiebungsvektor verläuft, in der Abbildung dargestellt als \(\overrightarrow{F_1}\) (fahren Sie dafür mit der Maus über die Abbildung). Der Vektor \(\overrightarrow{F_2}\) steht senkrecht zur Wegrichtung \(\overrightarrow{s}\) und trägt nicht zur geleisteten Arbeit bei. Der skalare Wert der geleisteten Arbeit ist daher gegeben durch
\(\qquad W = \vert \overrightarrow{F} \vert \cdot \vert \overrightarrow{s} \vert \cdot \cos(\alpha)\)
Wie wir noch sehen werden, wird die tatsächlich am Waggon verrichtete Arbeit einfacher durch das Skalarprodukt \(\langle \overrightarrow{F}, \overrightarrow{s} \rangle\) von \(\overrightarrow{F}\) und \(\overrightarrow{s}\) beschrieben:
\(\qquad W = \langle \overrightarrow{F} , \overrightarrow{s} \rangle \)
Erläuterung
Die Animation visualisiert die Skalarmultiplikation der beiden Vektoren \(F_1\) und \(s\), die beide die gleiche Richtung haben. Auf den Waggon wirkt eine Kraft von \(100 \ \mathrm{N}\) (Newton) ein. Er wird über die Strecke \(s = 200 \ \mathrm{m}\) verschoben. Die geleistete Arbeit / das Skalarprodukt \(W\) beträgt also \(20 \ 000 \ \mathrm{Nm} = 20 \ 000 \ \mathrm{J} =20 \ \mathrm{kJ}\).
In der Animation können Sie den Endpunkt des Kraftvektors \(\overrightarrow{F}\) mit gedrückter linker Maustaste bewegen. Sie sehen, dass der Wert des Skalarprodukts \(\langle \overrightarrow {F_1}, \overrightarrow {s} \rangle\) unverändert bleibt, auch wenn sich der Winkel, in dem das Pferd zum Waggon läuft, ändert, dass allerdings das Pferd bei größerem Winkel \(\alpha\) ein größere Kraft aufwenden muss:
\(\enspace\)