Physikalische Herleitung Definition des Skalarprodukts
Definition:
Für zwei ebene Vektoren \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} u_1 \\ u_2 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \end{matrix} \right)\) heißt
\(\qquad \langle \overrightarrow{u} , \, \overrightarrow{v} \rangle = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 \)
das Skalarprodukt von \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v} \).
Für zwei räumliche Vektoren \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right)\) gehen wir analog vor und nennen
\(\qquad \langle \overrightarrow{u} , \, \overrightarrow{v} \rangle = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 \)
das Skalarprodukt von \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v} \).
Beispiel Ebene:
Für zwei Vektoren \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right)\) bilden wir das Skalarprodukt:
\(\qquad \langle \overrightarrow{u} , \, \overrightarrow{v} \rangle = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8 \)
In der Visualisierung können Sie die Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) durch Ziehen an den Endpunkten variieren und so sehen, wie sich dadurch ihr Skalarprodukt verändert:
Beispiel 3D:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)\) im Raum berechnet sich dann wie folgt:
\(\qquad \langle \overrightarrow{u} , \, \overrightarrow{v} \rangle = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 4 \)
\(\enspace\)