Definition des Skalarprodukts Regeln für das Skalarprodukt
Für das Skalarprodukt gelten einige Regeln, die Ihnen das Rechnen mit Vektoren und Skalarprodukten erleichtern:
Regeln für das Skalarprodukt:
- Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz: \(\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \rangle \) für alle Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\).
- Für das Skalarprodukt gilt das Distributivgesetz: \(\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2} \rangle = \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v_1} \rangle + \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v_2} \rangle \) für alle Vektoren \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v_1}\) und \(\overrightarrow{v_2}\).
- Das Skalarprodukt ist verträglich mit Skalarmultiplikation: \(\langle r \cdot \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle \) für alle Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) und alle Zahlen \(r \in \mathbb R\).
- Das Skalarprodukt bestimmt die Länge eines Vektors: \( \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = \vert \overrightarrow{v} \vert^2\)
Diese Aussagen folgen alle sofort aus der Definition. Als Beispiel wollen wir die Kommutativität für ebene Vektoren ausführen:
Beispiel Ebene:
Wir betrachten zwei ebene Vektoren \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} u_1 \\ u_2 \end{matrix} \right) \) und \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \end{matrix} \right)\).
Dann gilt
Dann gilt
\( \begin{array} {l c l} \qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle & = & u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 \\ &=& v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 \\ & = & \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \rangle \end{array} \)
Alle anderen Regeln lassen sich ähnlich einfach zeigen.
\(\enspace\)