Die Ungleichung von Cauchy-Schwarz Skalarprodukt und Winkel
Wir betrachten nun zwei Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) (beide von \(\overrightarrow{0}\) verschieden). Dann besagt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass
\(\qquad -1 \ \leq \ \dfrac { \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert} \ \leq \ 1 \)
Deshalb gibt es genau ein \(\alpha\) mit \(0 \leq \alpha \leq \pi\), sodass
\(\qquad \cos(\alpha) = \dfrac {\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert} \)
Definition:
Der Winkel \(\alpha\) heißt Winkel zwischen den beiden Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\).
In der Ebene kann man zwischen zwei Vektoren zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) betrachten (verändern Sie \(\alpha\) und \(\beta\) durch Ziehen am Endpunkt der Vektoren \( \overrightarrow{u}\) und \( \overrightarrow{v}\)):
Die Definition wählt in diesem Fall immer den kleineren der beiden Winkel, im Bild also den Winkel \(\alpha\).
Merke:
Der Winkel \(\alpha\) berechnet sich als
\(\qquad \alpha = \arccos \left( \dfrac { \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert} \right) \)
Dabei ist \(\arccos\) die Umkehrfunktion zu \(\cos\) auf dem Intervall \([0, \pi]\) (siehe auch Kurs "Trigonometrie").
Merke:
Der Winkel zwischen zwei Vektoren wird durch diese Formel immer im Bogenmaß angegeben. Für geometrische Überlegungen ist häufig eine Angabe im Winkelmaß (\(^{\circ}\)) anschaulicher. Hierfür ist aber eine Umrechnung (wie sie im Kurs "Geometrie" vorgestellt wurde) erforderlich.
\(\enspace\)