Skalarprodukt und Winkel Beispiele zur Winkelberechnung
Beispiel Ebene:
Wir betrachten die beiden ebenen Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \right) , \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{matrix} \right) \)
In diesem Fall gilt
\(\qquad \vert \overrightarrow{u} \vert = \sqrt{2^2+2^2} = 2 \cdot \sqrt{2}, \quad \vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{\sqrt{3}^2+1^2} = 2 \)
und
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3}-1) \)
\(\qquad \vert \overrightarrow{u} \vert = \sqrt{2^2+2^2} = 2 \cdot \sqrt{2}, \quad \vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{\sqrt{3}^2+1^2} = 2 \)
und
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3}-1) \)
Damit gilt
\(\qquad \dfrac {\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle }{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert} = \dfrac {2 \cdot (\sqrt{3}-1)}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2} = \dfrac {\sqrt{3}-1}{2 \cdot \sqrt{2}} \)
Daher schließen die beiden Vektoren folgenden Winkel ein:
\(\qquad \alpha = \arccos\left(\dfrac {\sqrt{3}-1}{2 \cdot \sqrt{2}}\right) = \dfrac {5\pi}{12} \)
(bzw. \(\alpha = 75^{\circ}\) im Gradmaß).
Beispiel 3D:
Erklärung Lösung: \(\alpha = 90 ^{\circ}\) Erläuterung: Es gilt \(\qquad \vert \overrightarrow{u} \vert = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3, \quad \vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = 3 \) und \(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 0 \) Damit gilt \(\qquad \dfrac {\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle }{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert} = \dfrac {0}{3 \cdot 3} = 0 \) Daher schließen die beiden Vektoren folgenden Winkel ein: \(\qquad \alpha = \arccos\left(0\right) = \dfrac {\pi}{2} \) Im Gradmaß also: \(\qquad \alpha = 90^{\circ}\) |  |
\(\enspace\)