Beispiele zur Winkelberechnung Kollineare Vektoren
Kollineare Vektoren lassen sich durch die Winkel zwischen ihnen charakterisieren. Dazu betrachten wir wieder zwei Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) (beide von \(\overrightarrow{0}\) verschieden)
Definition:
Genau dann sind \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) parallel, wenn
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
Aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz wissen wir schon, dass \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) genau dann kollinear (also parallel oder antiparallel) sind, wenn
\(\qquad \vert \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
also wenn
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle = \pm \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
und es muss nur noch geklärt werden, wann welches Vorzeichen auftritt.
\(\qquad \vert \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
also wenn
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle = \pm \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
und es muss nur noch geklärt werden, wann welches Vorzeichen auftritt.
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle = -\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
Begründung
Aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz wissen wir schon, dass \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) genau dann kollinear (also parallel oder antiparallel) sind, wenn
\(\qquad \vert \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
also wenn
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle = \pm \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
Es muss daher nur noch geklärt werden, wann welches Vorzeichen auftritt.
\(\qquad \vert \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
also wenn
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle = \pm \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
Es muss daher nur noch geklärt werden, wann welches Vorzeichen auftritt.
Sind \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) parallel, so haben sie die gleiche Richtung und Orientierung. Daher ist \(\overrightarrow{u}\) ein positives Vielfaches von \(\overrightarrow{v}\),
\(\qquad \overrightarrow{u} = r \cdot \overrightarrow{v} \)
für ein \(r > 0\). Damit gilt
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = \langle r \cdot \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert^2 = (r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert) \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)
(wobei wir wieder \(r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert\) ausgenutzt haben). Sind also \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) parallel, so gilt
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)
\(\qquad \overrightarrow{u} = r \cdot \overrightarrow{v} \)
für ein \(r > 0\). Damit gilt
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = \langle r \cdot \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert^2 = (r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert) \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)
(wobei wir wieder \(r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert\) ausgenutzt haben). Sind also \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) parallel, so gilt
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)
Sind dagegen \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) antiparallel, so haben sie die gleiche Richtung und entgegengesetzte Orientierung. Daher ist \(\overrightarrow{u}\) ein negatives Vielfaches von \(\overrightarrow{v}\),
\(\qquad \overrightarrow{u} = r \cdot \overrightarrow{v} \)
für ein \(r < 0\). Damit gilt
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = \langle r \cdot \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert^2 = -(-r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert) \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert = -\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)
(wobei wir hier ausgenutzt haben, dass \( -r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert = \vert r \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert= \vert \overrightarrow{u} \vert\) gilt). Sind \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) antiparallel, so gilt also
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = -\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)
\(\qquad \overrightarrow{u} = r \cdot \overrightarrow{v} \)
für ein \(r < 0\). Damit gilt
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = \langle r \cdot \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v} \rangle = r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert^2 = -(-r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert) \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert = -\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)
(wobei wir hier ausgenutzt haben, dass \( -r \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert = \vert r \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert= \vert \overrightarrow{u} \vert\) gilt). Sind \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) antiparallel, so gilt also
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = -\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)
Damit sind die Vorzeichen zugeordnet und die Aussage ist gezeigt.
Beispiel Ebene:
Die beiden Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 7 \\ 3.5 \end{matrix} \right) \)
erfüllen
\(\qquad \vert \overrightarrow{u} \vert = \sqrt{2^2+ 1^2} = \sqrt{5}, \quad \vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{7^2+ 3.5^2} = \sqrt{61.25} \)
und
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = 2 \cdot 7 + 1 \cdot 3.5 = 17.5 = \sqrt{306.25} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{61.25} = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \)
Damit sind \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) parallel, schließen also einen Winkel von \(0^{\circ}\) ein:
Beispiel Ebene:
Erklärung Lösung: \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) sind kollinear und antiparallel. Erläuterung: Die beiden Vektoren \(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} -6 \\ 8 \end{matrix} \right) \) erfüllen \(\qquad \vert \overrightarrow{u} \vert = \sqrt{3^2+ (-4)^2} = 5, \quad \vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{(-6)^2+ 8^2} = 10 \) und \(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = 3 \cdot (-6) + (-4) \cdot 8 = -50 = -5 \cdot 10 = -\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \) und damit sind \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) antiparallel, schließen also einen Winkel von \(180^{\circ}\) ein.  |  |
\(\enspace\)