Kollineare Vektoren Orthogonale Vektoren
Ein Sonderfall ist, wenn das Skalarprodukt den Wert \(0\) annimmt. Wir betrachten dazu zwei von Null verschiedene Vektoren \(\overrightarrow{u} \) und \(\overrightarrow{v}\) in der Ebene:
Beispiel:
Wir berechnen das Skalarprodukt der beiden Vektoren \( \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \end{matrix} \right) \) und \( \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix} \right) \).
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = 3 \cdot 8 + (-4) \cdot 6 = 24-24 = 0 \)
Wie die Abbildung zeigt, ist der von \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) eingeschlossene Winkel \(\alpha\) ein rechter Winkel (\(90 ^{\circ}\) im Gradmaß und \(\frac {\pi}{2}\) im Bogenmaß). Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander – sie sind orthogonal:
Definition:
Die beiden Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) heißen orthogonal, wenn
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle = 0 \)
Wir sagen auch, dass \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) senkrecht aufeinander stehen.
Begründung
Sind \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) orthogonal, so gilt
\(\qquad \langle \overrightarrow{u}, \,\overrightarrow{v}\rangle = 0 \)
Also gilt für den Winkel \(\alpha\) zwischen ihnen
\(\qquad \alpha = \arccos(0) = \dfrac {\pi}{2} \)
Die Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) schließen daher einen Winkel von \(\frac {\pi}{2}\) (im Bogenmaß) bzw. \(90^{\circ}\) (im Gradmaß) ein.
Beispiel Nullvektor:
Eine besondere Rolle spielt der Nullvektor. Für jeden beliebigen Vektor \(\overrightarrow{v}\) sind nämlich die beiden Vektoren \(\overrightarrow{0}\) und \(\overrightarrow{v}\) orthogonal, denn
\(\qquad \langle \overrightarrow{0}, \overrightarrow{v} \rangle = 0\)
Der Nullvektor \(\overrightarrow{0}\) ist also parallel und antiparallel zu jedem Vektor, und er steht gleichzeitig auch senkrecht auf jedem anderen Vektor.
Merke:
Genau dann sind zwei (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) orthogonal, wenn sie einen Winkel von \(\frac {\pi}{2}\) (im Bogenmaß) bzw. \(90^{\circ}\) (im Winkelmaß) einschließen.
\(\enspace\)