Aufgabe mit Lösung Beschreibung durch Länge und Winkel
Besonders wichtig für das geometrische Verständnis ebener Vektoren ist der Winkel \(\varphi\) zwischen einem Vektor \(\overrightarrow{v}\) und den Koordinatenachsen, speziell der \(x\)-Achse.
Anders als bei Winkeln zwischen zwei Vektoren wählen wir in dieser Situation einen orientierten Winkel, ausgehend von der \(x\)-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn (also im mathematisch positiven Sinn). Wir können also auch Winkel erhalten, die größer als \(\pi\) (bzw. \(180^{\circ}\)) sind (bewegen Sie zur Veranschaulichung den Endpunkt des Vektors \(\overrightarrow{v}\) in der Animation):
Merke:
\(\varphi\) liegt immer zwischen \(0\) und \(2 \pi\): \(\quad 0 \leq \varphi < 2 \pi\)
Beispiel:
Der Vektor \(\overrightarrow{v}\) der Länge \(r = 4\) und mit dem Winkel \(\varphi = \frac {2 \pi}{3}\) hat die Koordinatendarstellung
\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 4 \cdot \cos\left(\frac {2 \pi}{3}\right) \\ 4 \cdot \sin\left(\frac {2 \pi}{3}\right) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \cdot \sqrt{3} \end{matrix} \right) \)
Merke:
Ein ebener Vektor \(\overrightarrow{v}\) ist durch seine Länge \(r\) und durch seinen (orientierten) Winkel \(\varphi\) mit der \(x\)-Achse schon eindeutig festgelegt.
Seine Koordinatendarstellung ist dann gegeben durch
\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} r \cdot \cos(\varphi) \\ r \cdot \sin(\varphi) \end{matrix} \right) \)
\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} r \cdot \cos(\varphi) \\ r \cdot \sin(\varphi) \end{matrix} \right) \)
Definition:
Die Beschreibung eines Vektors \(\overrightarrow{v}\) durch das Paar \((r, \varphi)\) bestehend aus seiner Länge \(r\) und seinem (orientierten) Winkel \(\varphi\) mit der \(x\)-Achse (mit \(0 \leq \varphi < 2\pi)\) heißt Polarkoordinatendarstellung von \(\overrightarrow{v}\).
Erklärung Lösung: \( \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -3 \cdot \sqrt{3} \\ - 3 \end{matrix} \right) \) Erläuterung: \( \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 6 \cdot \cos\left(\frac {7 \pi}{6}\right) \\ 6 \cdot \sin\left(\frac {7 \pi}{6}\right) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -3 \cdot \sqrt{3} \\ - 3 \end{matrix} \right) \)  |  |
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