Ist der orientierte Winkel \(\varphi\) zwischen der \(x\)-Achse und einem Vektor \(\overrightarrow{v}\) nicht größer als \(\pi\), so ist \(\varphi\) auch der Winkel zwischen dem ersten Standardbasisvektor \(\overrightarrow{e_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\  0 \end{matrix} \right) \) und dem Vektor \(\overrightarrow{v}\) .

Daher kann \(\varphi\) in diesem Fall nach der Formel zur Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren ermittelt werden und es gilt 

\(\qquad \varphi = \arccos\left( \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{e_1} \rangle}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{e_1} \vert} \right) = \arccos\left( \dfrac {v_1}{\vert \overrightarrow{v} \vert } \right) \)

Das ist genau dann der Fall, wenn der Vektor \(\overrightarrow{v}\) im ersten oder im zweiten Quadranten liegt, wenn also die zweite Komponente \(v_2 \geq 0\) ist.

Etwas schwieriger ist die Situation, wenn \( v_2 < 0\) ist, wenn also \( \overrightarrow{v}\) im dritten oder vierten Quadranten liegt. In diesem Fall ermittelt die obige Formel nicht den orientierten Winkel \(\varphi\), sondern den (nichtorientierten) Winkel \(\alpha\) zwischen \( \overrightarrow{v}\) und \( \overrightarrow{e_1}\).

Da aber \(\alpha = 2 \pi - \varphi\), erhalten wir sofort

\(\qquad \varphi = 2 \pi - \arccos\left( \dfrac {v_1}{\vert \overrightarrow{v} \vert } \right) \)

Wir betrachten zwei Vektoren \( \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) \) und \( \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \cdot \sqrt{3} \end{matrix} \right) \).

Für \( \overrightarrow{v}  \) gilt

\(\qquad r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2 \cdot \sqrt{2} \ ; \qquad \varphi = \arccos\left( \dfrac {-2}{2 \cdot \sqrt{2}} \right) = \dfrac {3 \pi}{4} \)

Für \( \overrightarrow{u} \) gilt

\(\qquad r = \sqrt{2^2 + (-2 \cdot \sqrt{3})^2} = 4 \ ; \qquad \varphi = 2 \pi - \arccos\left( \dfrac {2}{4} \right) = \dfrac {5 \pi}{3} \)