Aufgabe 2 Aufgabe 3
Gegeben sind die folgenden Vektoren \(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} -1 \\ \,2 \\ \,3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} \,3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) \) Bestimmen Sie alle Winkel zwischen diesen Vektoren. Erklärung Lösung: Der Winkel \(\alpha\) zwischen \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) ist \(\qquad\alpha \approx 51.89^{\circ}\) der Winkel \(\beta\) zwischen \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{w}\) ist \(\qquad\beta = 90^{\circ}\) und der Winkel \(\gamma\) zwischen \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) ist \(\qquad\gamma \approx 135.58^{\circ}\) Erläuterung: Die allgemeine Formel für den Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) ist \(\qquad\alpha = \arccos\left( \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\rangle}{\vert \overrightarrow{v}\vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert} \right)\) Daher berechnen wir zunächst die Skalarprodukte \(\qquad\begin{array} {l c l c l} \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle & = & 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & = & 4 \\ \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w} \rangle & = & 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) & = & 0 \\ \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle & = & (-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-1) & = & -10 \end{array}\) und die Längen der Vektoren \(\qquad\begin{array} {l c l c l} \vert \overrightarrow{u} \vert & = & \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} & = & \sqrt{3} \\ \vert \overrightarrow{v} \vert & = & \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} & = & \sqrt{14} \\ \vert \overrightarrow{w} \vert & = & \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} & = & \sqrt{14} \end{array} \) Damit erhalten wir für den Winkel \(\alpha\) zwischen \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\): \(\qquad\alpha = \arccos\left( \dfrac {4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}}\right) \approx 0.9056\) (im Bogenmaß) bzw. (im Gradmaß) \(\qquad\alpha \approx 51.89^{\circ}\) und für den Winkel \(\beta\) zwischen \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{w}\): \(\qquad\beta = \arccos\left( \dfrac {0}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}}\right) = \dfrac {\pi}{2} \) (im Bogenmaß) bzw. (im Gradmaß) \(\qquad\beta = 90^{\circ}\) sowie für den Winkel \(\gamma\) zwischen \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\): \(\qquad \gamma = \arccos\left( \dfrac {-10}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}\right) \approx 2.3664 \) (im Bogenmaß) bzw. (im Gradmaß) \(\qquad\gamma \approx 135.58^{\circ}\) |  |
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