Aufgabe 3 Aufgabe 4
Gegeben sind die drei ebenen Vektoren \(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} \\ 3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} -1 \\ \,1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} \sqrt{6}-\sqrt{2} \\ -\sqrt{6}-\sqrt{2} \end{matrix} \right) \) Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellung dieser drei Vektoren. Erklärung Lösung: Der Vektor \(\overrightarrow{u}\) hat die Polarkoordinaten \((r, \varphi)\) mit \(\qquad r = \sqrt{12} , \quad \varphi = \dfrac {\pi}{3} \) Der Vektor \(\overrightarrow{v}\) hat die Polarkoordinaten \((r, \varphi)\) mit \( r = \sqrt{2} , \quad \varphi = \dfrac {3 \cdot \pi}{4} \) Der Vektor \(\overrightarrow{w}\) hat die Polarkoordinaten \((r, \varphi)\) mit \(\qquad r = 4 , \quad \varphi = \dfrac {19 \cdot \pi}{12} \) Erläuterung: Ganz allgemein hat ein Vektor \(\qquad\overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right)\) die Polarkoordinatendarstellung \((r, \varphi)\), wobei \(r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\) und \(\qquad\varphi = \left\{ \begin{array} {l l} \arccos\left( \frac {x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} \right) & \text{ falls } x_2 \geq 0 \\ 2 \pi - \arccos\left( \frac {x_1}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} \right) & \text{ falls } x_2 < 0 \end{array} \right.\) In dieser Aufgabe ergibt das: Für \(\overrightarrow{u}\): \(\qquad\begin{array} {l c l c l} r &=& \sqrt{\sqrt{3}^2 + 3^2} &=& \sqrt{12} \\ \varphi & =& \arccos\left(\dfrac {\sqrt{3}}{\sqrt{12}}\right) &=& \dfrac {\pi}{3} \end{array} \) Für \(\overrightarrow{v}\): \(\qquad\begin{array} {l c l c l} r &=& \sqrt{(-1)^2 + 1^2} &=& \sqrt{2} \\\varphi & =& \arccos\left(\dfrac {-1}{\sqrt{2}}\right) &=& \dfrac {3 \cdot \pi}{4} \end{array} \) Für \(\overrightarrow{w}\): \(\qquad\begin{array} {l c l c l} r &=& \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{6}- \sqrt{2})^2} &=& 4 \\\varphi & =& 2 \pi - \arccos\left(\dfrac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) &=& \dfrac {19 \cdot \pi}{12} \end{array} \) |  |
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