Aufgabe 4 Senkrechte Vektoren
Das Zusammenspiel von Vektoren ist durch ihre Lage zueinander bestimmt. Dabei können zwei Extremfälle auftreten:
- Die Vektoren sind kollinear: Sie schließen einen Winkel von \(0\) bzw. \(\pi\) (im Gradmaß \(0^{\circ}\) bzw. \(180^{\circ}\)) ein. Kollineare Vektoren lassen sich leicht erkennen. Zwei von \(\overrightarrow{0}\) verschiedene Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) sind genau dann kollinear, wenn sich der eine als Vielfaches des anderen schreiben lässt (siehe auch Lernmodul 1, Eigenschaften von Vektoren). Wir erhalten aus einem (vom Nullvektor verschiedenen) Vektor \(\overrightarrow{u}\) alle dazu kollinearen Vektoren \(\overrightarrow{v}\) durch \(\overrightarrow{v} = r \cdot \overrightarrow{u} \) für eine reelle Zahl \(r\).
- Die Vektoren sind orthogonal: Sie stehen in einem Winkel von \(\frac {\pi}{2}\) zueinander (im Gradmaß \(90^{\circ}\)). Wie wir im vorherigen Kapitel über das Skalarprodukt gesehen haben, sind zwei Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) genau dann orthogonal, wenn \(\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle = 0\).
Wir betrachten nun zum ebenen Vektor \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \end{matrix} \right) (\neq \overrightarrow{0})\) den Vektor \(\overrightarrow{v}^{\perp} = \left( \begin{matrix} -v_2 \\ v_1 \end{matrix} \right)\). Dieser steht senkrecht auf \(\overrightarrow{v}\), denn es gilt:
\( \qquad \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{v}^{\perp} \rangle = v_1 \cdot (-v_2) + v_2 \cdot v_1 = - v_1 \cdot v_2 + v_2 \cdot v_1 = 0 \)
Jeder auf \(\overrightarrow{v}\) senkrecht stehende Vektor \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \end{matrix} \right)\) (fahren Sie hierzu mit der Maus über die Abbildung) ist kollinear zu \(\overrightarrow{v}^{\perp} = \left( \begin{matrix} -v_2 \\ v_1 \end{matrix} \right)\), denn es muss gelten:
\(\qquad 0 = \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_1 \)
Ist also etwa \(v_1 \neq 0\), so bedeutet das
\(\qquad w_1 = - \dfrac {v_2}{v_1} \cdot w_2 = - \dfrac {w_2}{v_1} \cdot v_2 \)
Da sicherlich \(w_2 = \dfrac {w_2}{v_1} \cdot v_1\) gilt, erhalten wir mit \(r = \dfrac {w_2}{v_1}\):
\(\qquad w_1 = r \cdot (-v_2), \quad w_2 = r \cdot v_1 \)
und das bedeutet gerade, dass \(\overrightarrow{w}\) und \(\overrightarrow{v}^{\perp}\) kollinear sind. Analog argumentieren wir, wenn \(v_2 \neq 0\)
Bei räumlichen Vektoren ist die Situation sehr viel schwieriger:
Beispiel 3D:
Wir betrachten den Vektor \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)\).
Die Vektoren \(\overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right)\) stehen senkrecht auf \(\overrightarrow{u}\), aber sie sind nicht kollinear zueinander.
Merke:
Zu einer Richtung im Raum gibt es viele Richtungen, die darauf senkrecht stehen.
\(\enspace\)