Senkrechte Vektoren Das Vektorprodukt
Zu einem Vektor \(\overrightarrow{v}\) im Raum gibt es also sehr viele (paarweise nicht kollineare) Vektoren \(\overrightarrow{u}\), die auf \(\overrightarrow{v}\) senkrecht stehen. Um diese Vieldeutigkeit zu vermeiden, betrachten wir nicht nur einen, sondern zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\). Sind diese Vektoren nicht kollinear, so gibt es genau eine Ebene, in der diese beiden Vektoren liegen, und zu dieser Ebene gibt es genau eine senkrechte Richtung. Diese Richtung soll nun bestimmt werden, und dazu benutzen wir das Vektorprodukt.
Definition:
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\) von zwei Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{matrix} \right)\)
ist der Vektor
\(\qquad\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2 \\ v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3 \\ v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1 \end{matrix} \right)\)
Beispiel:
Das Vektorprodukt der beiden Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right)\)
ist der Vektor
\(\qquad\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 2 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot (-2) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ -4 \\ 4 \end{matrix} \right)\)
Merke:
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\) wird oft auch als Kreuzprodukt von \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) bezeichnet.
Merke:
Das Vektorprodukt ist nur für räumliche Vektoren definiert. Für ebene Vektoren können wir es nicht definieren.
\(\enspace\)