Das Vektorprodukt Beispiele von Vektorprodukten
Beispiel:
Das Vektorprodukt der beiden Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{e_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{e_2} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)\)
ist der Vektor
\(\qquad \overrightarrow{e_1} \times \overrightarrow{e_2} = \left( \begin{matrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \overrightarrow{e_3} \)
Merke:
Für einen beliebigen Vektor
\(\qquad\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right)\)
gilt stets
\(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_2 \cdot v_3 - v_3 \cdot v_2 \\ v_3 \cdot v_1 - v_1 \cdot v_3 \\ v_1 \cdot v_2 - v_2 \cdot v_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) = \overrightarrow{0} \)
Das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst ist also stets der Nullvektor, \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\).
Beispiel:
Berechnen Sie das Vektorprodukt der beiden Vektoren \(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} \right)\) Lösung und Erläuterung Das Vektorprodukt der beiden Vektoren \(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} \right)\) ist der Vektor \(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 2 \cdot 4 - 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 6 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{matrix} \right)\) |  |
\(\enspace\)