Beispiele von Vektorprodukten Eigenschaften des Vektorprodukts
Einige Rechenregeln für das Vektorprodukt können sofort aus der Definition abgeleitet werden:
Rechenregeln für das Vektorprodukt:
- Das Vektorprodukt ist antikommutativ: \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = - (\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{v})\) für alle Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\).
- Das Vektorprodukt ist distributiv: \( (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \) für alle Vektoren \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\).
- Das Vektorprodukt ist verträglich mit der Skalarmultiplikation: \( \left(r \cdot \overrightarrow{v}\right) \times \overrightarrow{w} = r \cdot \left(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\right) = \overrightarrow{v} \times \left( r \cdot \overrightarrow{w} \right) \) für alle Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) und alle reellen Zahlen \(r\).
- Das Vektorprodukt ist alternierend: Für zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) ist genau dann \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}\), wenn \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) kollinear sind.
Beispiel Antikommutativität
Für die beiden Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{e_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{e_2} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)\)
ist
\( \qquad \overrightarrow{e_2} \times \overrightarrow{e_1} = \left( \begin{matrix} 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right)\)
und
\(\qquad -\overrightarrow{e_1} \times \overrightarrow{e_2}=-\begin{pmatrix}0\cdot0-0\cdot1\\ 0\cdot0 -1\cdot0\\1\cdot 1-0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\)
Das Vektorprodukt ist in diesem Fall also tatsächlich antikommutativ, da \(\overrightarrow{e_2} \times \overrightarrow{e_1} = - \overrightarrow{e_1} \times \overrightarrow{e_2} \).
Beispiel Distributivgesetz
Für die Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\) \(\,\, \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} \right)\)
ist
\(\qquad \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 1 \cdot 4 - 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot 6 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 5 - 1 \cdot 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right)\)
und
\(\qquad\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{matrix} \right)\)
(wie wir schon hier ausgerechnet haben), und daher
\(\qquad\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -8 \\ 16 \\ -8 \end{matrix} \right)\)
Außerdem gilt
\(\qquad (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{w} = \left(\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right)\times \begin{pmatrix}6 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}6 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot4 -4\cdot 5\\ 4\cdot6 - 2\cdot4\\ 2\cdot5 - 3\cdot6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 \\ 16 \\-8 \end{pmatrix}\)
Wir sehen also, dass das Vektorprodukt (zumindest in diesem Beispiel) tatsächlich distributiv ist.
Beispiel Skalarmultiplikation
Für \(r=5 \) und die Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\) und \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} \right)\)
gilt:
\(\qquad r\cdot\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)=5\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}6\\5\\4\end{pmatrix}\right) =5\cdot\begin{pmatrix}1\cdot4- 1\cdot5\\ 1\cdot6-1\cdot4\\1\cdot5-1\cdot6\end{pmatrix}=5\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\10\\-5\end{pmatrix}\)
\(\qquad (r \cdot \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{w} = \left(5\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right)\times\begin{pmatrix}6\\5\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\5\\5\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}6\\5\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\cdot4 - 5\cdot5\\ 5\cdot6 - 5\cdot4\\ 5\cdot 5- 5\cdot6\end{pmatrix} = \left( \begin{matrix} -5 \\ 10 \\ -5 \end{matrix} \right)\)
\(\qquad \overrightarrow{v} \times (r \cdot \overrightarrow{w}) = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\times\left(5\cdot\begin{pmatrix}6\\5\\4\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}30\\25\\20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot20 - 1\cdot25\\ 1\cdot30 - 1\cdot20\\ 1\cdot 25- 1\cdot30\end{pmatrix} = \left( \begin{matrix} -5 \\ 10 \\ -5 \end{matrix} \right)\)
Da die Ergebnisse aller drei Rechnungen übereinstimmen, sehen wir, dass das Vektorprodukt hier tatsächlich mit der Skalarmultiplikation verträglich ist.
Beispiel alternierend
Die beiden Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\, \) und \(\,\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{matrix} \right)\)
sind kollinear, da \(\overrightarrow{v} = 5 \cdot \overrightarrow{u}\), und es gilt tatsächlich
\(\qquad \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\times\left( \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{matrix} \right) = \begin{pmatrix}1\cdot5-1\cdot5\\1\cdot5-1\cdot5\\1\cdot5-1\cdot5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = \overrightarrow{0}\)
Die beiden Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\, \) und \(\, \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} \right)\)
sind nicht kollinear, da es keine reelle Zahl \(r\) gibt mit
\(\qquad \overrightarrow{u}=r\cdot\overrightarrow{w}\)
Außerdem gilt für das Vektorprodukt von \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{w}\) tatsächlich
\(\qquad \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6\\5\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot4-1\cdot5\\1\cdot6-1\cdot 4\\1\cdot5-1\cdot6\end{pmatrix} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right)\ne\overrightarrow{0}\)
\(\enspace\)