Eigenschaften des Vektorprodukts Vektorprodukt und Orthogonalität
Wie wir schon angekündigt haben, hilft uns das Vektorprodukt, die Richtung zu bestimmen, die senkrecht auf einer Ebene steht.
Orthogonalitätsrelation des Vektorprodukts:
Für zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) gilt
\(\qquad \begin{array} {l c l} \langle \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}, \overrightarrow{v} \rangle & = & 0 \\ \langle \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}, \overrightarrow{w} \rangle & = & 0 \end{array}\)
Der Vektor \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\) steht also senkrecht auf \(\overrightarrow{v}\) und auf \(\overrightarrow{w}\).
Begründung
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\) von zwei Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{matrix} \right)\)
ist definiert als
\(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2 \\ v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3 \\ v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1 \end{matrix} \right)\)
Damit gilt
\(\qquad \begin{array} {l c l} \langle \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}, \overrightarrow{v} \rangle & = & (v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2) \cdot v_1 + (v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3) \cdot v_2 + (v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1) \cdot v_3 \\ & = & v_1 \cdot v_2 \cdot w_3 - v_1 \cdot v_3 \cdot w_2 + v_2 \cdot v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot v_2 \cdot w_3 + v_1 \cdot v_3 \cdot w_2 - v_2 \cdot v_3 \cdot w_1 \\ & = & 0 \end{array} \)
und
\(\qquad \langle \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}, \overrightarrow{w} \rangle = 0 \)
kann genauso direkt nachgerechnet werden.
\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right), \qquad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{matrix} \right)\)
ist definiert als
\(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2 \\ v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3 \\ v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1 \end{matrix} \right)\)
Damit gilt
\(\qquad \begin{array} {l c l} \langle \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}, \overrightarrow{v} \rangle & = & (v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2) \cdot v_1 + (v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3) \cdot v_2 + (v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1) \cdot v_3 \\ & = & v_1 \cdot v_2 \cdot w_3 - v_1 \cdot v_3 \cdot w_2 + v_2 \cdot v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot v_2 \cdot w_3 + v_1 \cdot v_3 \cdot w_2 - v_2 \cdot v_3 \cdot w_1 \\ & = & 0 \end{array} \)
und
\(\qquad \langle \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}, \overrightarrow{w} \rangle = 0 \)
kann genauso direkt nachgerechnet werden.
Merke:
Sind \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) nicht kollinear, so gibt es genau eine Ebene \(E\), in der \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) liegen. Jeder Vektor \(\overrightarrow{u}\), der auf dieser Ebene \(E\) senkrecht steht, ist kollinear zu \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\).
Beispiel:
Für die Vektoren \(\overrightarrow{e_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \,\,\) und \(\, \overrightarrow{e_2} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)\)
ist
\(\qquad\overrightarrow{e_3} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \overrightarrow{e_1} \times \overrightarrow{e_2}\)
und jeder Vektor, der auf der \(x\)-\(y\)-Ebene senkrecht steht, ist ein Vielfaches von \(\overrightarrow{e_3}.\)
Merke:
Sind \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) nicht kollinear, so bilden \(\overrightarrow{v}\), \(\,\overrightarrow{w}\,\) und \(\,\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\) (in dieser Reihenfolge) ein rechtshändiges System.
Beispiel:
Die Standardbasisvektoren
\(\qquad\overrightarrow{e_1}\), \(\, \overrightarrow{e_2}\,\) und \(\overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{e_1} \times \overrightarrow{e_2} \)
bilden ein rechtshändiges System (und legen die Standardkoordinatendarstellung räumlicher Vektoren fest).
Die Vektoren \(\overrightarrow{e_2}\), \(\, \overrightarrow{e_1}\,\) und \(\overrightarrow{e_3} = -\overrightarrow{e_2} \times \overrightarrow{e_1} \) dagegen bilden ein linkshändiges System.
\(\enspace\)