Vektorprodukt und Orthogonalität Die Länge des Vektorprodukts
Die Länge des Vektorprodukts \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\,\) von zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w} \) lässt sich aus den Längen von \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w} \) und deren Lage zueinander berechnen:
Für zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w} \) gilt
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert^2 = \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle^2 \)
Begründung
Diese Aussage kann durch Umformungen direkt aus der Definition nachgerechnet werden:
\(\qquad \begin{array} {l c l} \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert^2 & = & (v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2)^2 + (v_3 \cdot w_1 -v_1 \cdot w_3)^2 + (v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1)^2 \\ & = & (v_1 \cdot w_2)^2 + (v_1 \cdot w_3)^2 + (v_2 \cdot w_1)^2 + (v_2 \cdot w_3)^2 + (v_3 \cdot w_1)^2 + (v_3 \cdot w_2)^2 \\ & & - 2 \cdot \left( v_1 \cdot v_2 \cdot w_1 \cdot w_2 + v_1 \cdot v_3 \cdot w_1 \cdot w_3 + v_2 \cdot v_3 \cdot w_2 \cdot w_3 \right) \\ & = & \left( v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \right) \cdot \left( w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 \right) - \left( v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 +v_3 \cdot w_3 \right)^2 \\ & = & \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle^2 \end{array}\)
\(\qquad \begin{array} {l c l} \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert^2 & = & (v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2)^2 + (v_3 \cdot w_1 -v_1 \cdot w_3)^2 + (v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1)^2 \\ & = & (v_1 \cdot w_2)^2 + (v_1 \cdot w_3)^2 + (v_2 \cdot w_1)^2 + (v_2 \cdot w_3)^2 + (v_3 \cdot w_1)^2 + (v_3 \cdot w_2)^2 \\ & & - 2 \cdot \left( v_1 \cdot v_2 \cdot w_1 \cdot w_2 + v_1 \cdot v_3 \cdot w_1 \cdot w_3 + v_2 \cdot v_3 \cdot w_2 \cdot w_3 \right) \\ & = & \left( v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \right) \cdot \left( w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 \right) - \left( v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 +v_3 \cdot w_3 \right)^2 \\ & = & \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle^2 \end{array}\)
Daraus ergibt sich nun unmittelbar:
Vektorprodukt und Winkel:
Schließen zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w} \) den Winkel \(\alpha\) ein, so gilt
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert = \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \sin(\alpha) \)
Begründung
Aus der vorangegangenen Aussage wissen wir bereits, dass
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert^2 = \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle^2 \)
und im Abschnitt über Skalarprodukte haben wir gesehen, dass
\(\qquad \cos(\alpha) = \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert} \)
also dass
\(\qquad \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle = \cos(\alpha) \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \)
Setzen wir diese beiden Aussagen nun zusammen, so ergibt das
\(\qquad \begin{array} {l c l} \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert^2 &=& \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle^2 \\ & = & \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \cos^2(\alpha) \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 \\ & = & \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 \cdot \left( 1 - \cos^2(\alpha) \right) \\ & = & \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 \cdot \sin^2(\alpha) \end{array}\)
(wobei wir den trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) benutzt haben), also
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert^2 = \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 \cdot \sin^2(\alpha)\)
Ziehen wir aus beiden Seiten die Quadratwurzel, so erhalten wir
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert = \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \sin(\alpha)\)
denn \(\sin(\alpha) \geq 0\), da \(0 \leq \alpha \leq \pi\).
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert^2 = \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle^2 \)
und im Abschnitt über Skalarprodukte haben wir gesehen, dass
\(\qquad \cos(\alpha) = \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert} \)
also dass
\(\qquad \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle = \cos(\alpha) \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \)
Setzen wir diese beiden Aussagen nun zusammen, so ergibt das
\(\qquad \begin{array} {l c l} \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert^2 &=& \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \langle \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w} \rangle^2 \\ & = & \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 - \cos^2(\alpha) \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 \\ & = & \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 \cdot \left( 1 - \cos^2(\alpha) \right) \\ & = & \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 \cdot \sin^2(\alpha) \end{array}\)
(wobei wir den trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) benutzt haben), also
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert^2 = \vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2 \cdot \sin^2(\alpha)\)
Ziehen wir aus beiden Seiten die Quadratwurzel, so erhalten wir
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\vert = \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \sin(\alpha)\)
denn \(\sin(\alpha) \geq 0\), da \(0 \leq \alpha \leq \pi\).
\(\enspace\)