Wir betrachten die beiden Vektoren
\(\qquad\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\)    und  \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)\) 

Sie spannen die \(x\)-\(y\)-Ebene auf und schließen den Winkel \(\alpha\) ein:

\(\qquad \alpha = \arccos\left(\dfrac {\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \rangle}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert} \right) = \arccos\left( \dfrac {-2}{2 \cdot \sqrt{2}}\right) = \dfrac {3 \pi}{4} \)

Die zur \(x\)-\(y\)-Ebene senkrechte Richtung wird beschrieben durch den Vektor

\(\qquad \overrightarrow{e_3} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)\)

\(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) und \(\overrightarrow{e_3}\) bilden ein rechtshändiges System. Daher muss gelten

\(\qquad\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = r \cdot \overrightarrow{e_3}\) 

mit einem \(r > 0\). Nach der Längenformel berechnen wir:

\(\qquad r = \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert  = \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin\left( \dfrac {3 \pi}{4} \right) = 2\)

Daher ist
\(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right)\)

Für die beiden Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right)\)    und  \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right) \) 

gilt
\(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 2 \cdot (-1) -3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)  \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} -2 \\ 7 \\ -4 \end{matrix} \right) \)

Also gilt für den Winkel \(\alpha\) zwischen \( \overrightarrow{v}\) und \( \overrightarrow{w}\):
\(\qquad \sin(\alpha) = \dfrac {\vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert} = \dfrac {\sqrt{69}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac {\sqrt{69}}{\sqrt{70}}\) 

also
\(\qquad \alpha = \arcsin\left( \dfrac {\sqrt{69}}{\sqrt{70}} \right) \approx 0.462 \cdot \pi \)