Der Vektor \(\overrightarrow{v}\) hat eine der folgenden Gestalten

\(\qquad\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)\, \)  oder \(\overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right)\, \)

Da \(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\) senkrecht auf \(\overrightarrow{v}\) steht, muss \(\overrightarrow{v}\) in der \(x\)-\(y\)-Ebene liegen. Also gilt

\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ 0 \end{matrix} \right)\)

Außerdem muss \(v_1^2 + v_2^2 = 2\) gelten, da \(\vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{2}\).

Bezeichnet \(\alpha\) den Winkel zwischen \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\), so gilt

\(\qquad \vert \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \vert = \sin(\alpha) \cdot \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert\)

also

\(\qquad 1 = \sin(\alpha) \cdot \sqrt{2}\)

bzw.

\(\qquad \sin(\alpha) = \dfrac {\sqrt{2}}{2}\)

woraus folgt, dass

\(\qquad \alpha = \dfrac {\pi}{4} \quad \)  oder  \(\alpha = \dfrac {3 \pi}{4} \)

Der Vektor \(\overrightarrow{v}\) liegt also in der \(x\)-\(y\)-Ebene und schließt mit der \(x\)-Achse (die durch \(\overrightarrow{u}\) gegeben ist) einen Winkel von \(\frac {\pi}{4}\) oder \(\frac {3\pi}{4}\) ein.

Deshalb muss in der Darstellung von \(\overrightarrow{v}\) gelten \(v_1 = \pm v_2\). Wegen \(v_1^2 + v_2^2 = 2\) folgt daraus, dass \(v_1 = \pm 1\), und damit erhalten wir zunächst für \(\overrightarrow{v}\) die folgenden Möglichkeiten: 

\(\qquad \overrightarrow{v_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v_2} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v_3} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v_4} = \left( \begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right)\)

Nun gilt

\(\qquad \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v_2} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)\)

und

\(\qquad \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v_3} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v_4} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right)\)

also ist \(\overrightarrow{v}\) einer der Vektoren \(\overrightarrow{v_1}\) oder \(\overrightarrow{v_2}\).

Alternativ kann die Aufgabe auch unmittelbar über die Definition des Vektorproduktes gelöst werden. Schreiben wir nämlich ganz allgemein

\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right)\)

so muss gelten

\(\qquad\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}  = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)  \times \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ -v_3 \\ v_2 \end{matrix} \right) \)

woraus schon \(v_3 = 0\) und \(v_2 = 1\) folgt. Aus

\(\qquad \sqrt{2} = \vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{v_1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{v_1^2+1}\)

folgt schließlich \(v_1^2 = 1\), also \(v_1 = -1\) oder \(v_1 = 1\). Damit erhalten wir wieder die beiden Vektoren \(\overrightarrow{v_1}\) und \(\overrightarrow{v_2}\).