Aufgabe 4 Dreiecke und Vektoren
Vektoren können sehr effektiv bei der Untersuchung geometrischer Objekte eingesetzt werden, etwa in der Dreiecksgeometrie. Dazu betrachten wir zunächst ein allgemeines Dreieck.
Im Kurs "Geometrie" haben wir bereits gesehen, dass für den Flächeninhalt \(F\) dieses Dreiecks gilt
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)\)
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)\)
Diese Beziehung kann nun mit Vektoren ausgedrückt werden. Ist nämlich \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB}\) der Verbindungsvektor der beiden Punkte \(A\) und \(B\) und \(\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC}\) der Verbindungsvektor der beiden Punkte \(A\) und \(C\), so ist das Dreieck durch diese beiden Vektoren (bis auf Kongruenz) schon vollständig festgelegt (rollen Sie hierzu mit der Maus über die Abbildung).
Es gilt
\(\qquad c = \vert \overrightarrow{v} \vert, \quad b = \vert \overrightarrow{w} \vert\)
\(\qquad c = \vert \overrightarrow{v} \vert, \quad b = \vert \overrightarrow{w} \vert\)
\(\alpha\) ist der Winkel zwischen \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\), also
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \sin(\alpha) \qquad \qquad (*) \)
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \sin(\alpha) \qquad \qquad (*) \)
Im Kapitel über das Skalarprodukt haben wir bereits gesehen, dass
\(\qquad \alpha = \arccos \left( \dfrac { \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert} \right) \)
\(\qquad \alpha = \arccos \left( \dfrac { \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert} \right) \)
Im Kurs "Trigonometrie" wurde außerdem gezeigt, dass
\(\qquad \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}\) (für jedes \(x \in [-1, 1]\))
sodass also
\(\qquad \sin\left(\arccos \left( \dfrac { \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert} \right)\right) = \sqrt{1 - \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle^2}{\vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2}} \)
Damit wird die Formel (\(*\)) zu
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \sin(\alpha) = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot\sqrt{1 - \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle^2}{\vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2}}\)
und wir erhalten:
Merke:
Ein Dreieck \(\Delta\) in der Ebene, von dem zwei Seiten durch die Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) beschrieben sind, hat den Flächeninhalt
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot\sqrt{1 - \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle^2}{\vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2}}\)
Liegt das Dreieck im Raum und nicht in der Zeichenebene (was wir z.B. immer dadurch erreichen können, dass wir eine dritte Komponente \(0\) anfügen), so wird Formel \((*)\) aufgrund der Längenformel des Vektorprodukts zu
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \sin(\alpha) = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert \)
Damit erhalten wir:
Merke:
Ein Dreieck \(\Delta\) im Raum, von dem zwei Seiten durch die Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) beschrieben sind, hat den Flächeninhalt
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert \)
\(\enspace\)