Dreiecke und Vektoren Beispiele zur Dreiecksberechnung
Beispiel:
Wir betrachten das ebene Dreieck mit den Eckpunkten
\(\qquad A = (-1 \vert -1), \quad B = ( 5 \, \vert \, 0), \quad C = (1 \, \vert \, 3)\)
Dieses Dreieck wird festgelegt durch die beiden Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right)\)
\(\qquad A = (-1 \vert -1), \quad B = ( 5 \, \vert \, 0), \quad C = (1 \, \vert \, 3)\)
Dieses Dreieck wird festgelegt durch die beiden Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right)\)
Hierfür gilt
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{37}, \quad \vert \overrightarrow{w} \vert = \sqrt{20}\)
und
\(\qquad \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle = 16\)
Damit hat dieses Dreieck den Flächeninhalt
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot\sqrt{1 - \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle^2}{\vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2}} = \dfrac {\sqrt{37} \cdot \sqrt{20}}{2} \cdot \sqrt{1 - \dfrac {16^2}{37 \cdot 20}} = 11 \)
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \vert = \sqrt{37}, \quad \vert \overrightarrow{w} \vert = \sqrt{20}\)
und
\(\qquad \langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle = 16\)
Damit hat dieses Dreieck den Flächeninhalt
\(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot\sqrt{1 - \dfrac {\langle \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \rangle^2}{\vert \overrightarrow{v} \vert^2 \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert^2}} = \dfrac {\sqrt{37} \cdot \sqrt{20}}{2} \cdot \sqrt{1 - \dfrac {16^2}{37 \cdot 20}} = 11 \)
Wenn Sie mit der Maus über die Abbildung fahren, wird Ihnen der Flächeninhalt \(F\) angezeigt:
Erklärung Lösung: \(F = \sqrt{1064} \approx 32.62\) Erläuterung: Das Dreieck wird festgelegt durch die beiden Vektoren \(\qquad \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 9 \end{matrix} \right)\) und es gilt \(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 36 \\ -52 \\ -16 \end{matrix} \right) \) und damit hat dieses Dreieck den Flächeninhalt \(\qquad F = \dfrac {1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert = \dfrac {1}{2} \cdot \sqrt{4256} = \sqrt{1064} \approx 32.62 \) |  |
\(\enspace\)