Vektoren können auch bei Volumenberechnungen eingesetzt werden. Einfach zu berechnen ist das Volumen eines Quaders, gelegentlich hat man es aber auch mit etwas allgemeineren Objekten zu tun, sogenannten Spaten. Ein Spat oder ein Parallelepiped ist ein Körper mit sechs Seiten, für den gilt:

• Alle Seiten sind Parallelogramme.
• Je zwei einander gegenüberliegende Seiten sind kongruent und parallel zueinander.

Ein Beispiel eines Spates \(\mathbf{P}\) sieht man hier:

Wenn Sie mit der Maus über die Abbildung fahren, sehen Sie dass der Spat komplett durch Vektoren beschrieben werden kann. Wir wählen einen Eckpunkt aus, legen dorthin den Ursprung eines Koordinatensystems, und bezeichnen die Verbindungsvektoren dieses Eckpunktes mit den benachbarten Eckpunkten des Spates mit \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\).

Jede Kante des Spates ist parallel zu einem der Vektoren \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\).

Jeder Punkt \(Q\) des Spates hat einen Ortsvektor, der sich schreiben lässt als
\(\qquad\overrightarrow{r}(Q) = r \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v} + t \cdot \overrightarrow{w}\) 
mit \(0 \leq r, s, t \leq 1\).

Umgekehrt ist jeder Punkt, der einen Ortsvektor dieser Form hat, ein Punkt des Spates.