Spate und Parallelepipede Das Spatprodukt
Da ein Spat vollständig durch drei Vektoren \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) festgelegt ist, kann daraus auch das Volumen bestimmt werden.
Definition:
Für drei Vektoren \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) heißt
\(\qquad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \rangle\)
das Spatprodukt von \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\).
Beispiel:
Für die drei Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 6 \\ -1 \end{matrix} \right) \)
gilt
\(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -6 \\ \,8 \\ 42 \end{matrix} \right)\)
und damit
\(\qquad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = \left\langle \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right), \, \left( \begin{matrix} -6 \\ \,8 \\ 42 \end{matrix} \right) \right\rangle = 212 \)
\(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 6 \\ -1 \end{matrix} \right) \)
gilt
\(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} -6 \\ \,8 \\ 42 \end{matrix} \right)\)
und damit
\(\qquad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = \left\langle \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right), \, \left( \begin{matrix} -6 \\ \,8 \\ 42 \end{matrix} \right) \right\rangle = 212 \)
Beispiel:
Wir betrachten die drei Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{e_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{e_2} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{e_3} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
Hierfür gilt
\(\qquad \overrightarrow{e_2} \times \overrightarrow{e_3} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) = \overrightarrow{e_1} \)
und damit
\(\qquad [\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}] = \left\langle \overrightarrow{e_1}, \, \overrightarrow{e_1} \right\rangle = 1 \)
\(\qquad \overrightarrow{e_1} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{e_2} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{e_3} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
Hierfür gilt
\(\qquad \overrightarrow{e_2} \times \overrightarrow{e_3} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) = \overrightarrow{e_1} \)
und damit
\(\qquad [\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}] = \left\langle \overrightarrow{e_1}, \, \overrightarrow{e_1} \right\rangle = 1 \)
Wir stellen nun die Verbindung her zwischen dem Spatprodukt von drei Vektoren \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) und dem Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten Spates:
Merke:
Das Volumen \(V\) eines Spates \(\mathbf{P}\), dessen Kanten bestimmt sind durch die Vektoren \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\), ist gegeben durch
\(V = \vert \, [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \, ] \vert\)
Bis auf ein Vorzeichen berechnet also das Spatprodukt von drei Vektoren das Volumen des von diesen drei Vektoren erzeugten Spates.
Beweisidee
Wir haben schon gesehen, dass
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert = \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \vert \sin(\varphi) \vert \qquad \qquad \qquad \qquad (1)\)
wobei \(\varphi\) der Winkel zwischen\( \overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) ist. Damit ist \(\vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert\) die Fläche des von \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) aufgespannten Parallelogramms, also die Grundfläche von \(\mathbf{P}\), wie wir in der Lerneinheit Geometrie gesehen haben. Ferner gilt
\(\qquad \vert \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \rangle \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert \cdot \vert \cos(\psi) \vert \qquad \qquad (2)\)
wobei \(\psi\) den Winkel zwischen \(\overrightarrow{u}\) und dem auf \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) senkrecht stehenden Vektor \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\) bezeichnet. Da \(\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \cos(\psi) \vert\) die Höhe des Parallelepipeds \(\mathbf{P}\) ist, wie sich sofort aus der Definition des Kosinus ergibt, erhalten wir die Behauptung durch Zusammensetzen der Beziehungen \((1)\) und \((2)\).
\(\qquad \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert = \vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{w} \vert \cdot \vert \sin(\varphi) \vert \qquad \qquad \qquad \qquad (1)\)
wobei \(\varphi\) der Winkel zwischen\( \overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) ist. Damit ist \(\vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert\) die Fläche des von \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) aufgespannten Parallelogramms, also die Grundfläche von \(\mathbf{P}\), wie wir in der Lerneinheit Geometrie gesehen haben. Ferner gilt
\(\qquad \vert \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \rangle \vert = \vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \vert \cdot \vert \cos(\psi) \vert \qquad \qquad (2)\)
wobei \(\psi\) den Winkel zwischen \(\overrightarrow{u}\) und dem auf \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) senkrecht stehenden Vektor \(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}\) bezeichnet. Da \(\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \cos(\psi) \vert\) die Höhe des Parallelepipeds \(\mathbf{P}\) ist, wie sich sofort aus der Definition des Kosinus ergibt, erhalten wir die Behauptung durch Zusammensetzen der Beziehungen \((1)\) und \((2)\).
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