Wir betrachten das Parallelepiped \(P\) mit den Ecken
\(\qquad \begin{array} {l l l l} P_1 = (0 \,\vert\, 0 \,\vert\, 0), \, & P_2 = (7 \,\vert\, 0 \,\vert\, 1), \, & P_3 = (8 \,\vert\, 6 \,\vert\, 0), \, & P_4 = (1 \,\vert\, 6 \,\vert \!-\!1) \\ P_5 = (1 \,\vert\, 1 \,\vert\, 5), \, & P_6 = (8 \,\vert\, 1 \,\vert\, 6), \, & P_7 = (9  \,\vert\, 7 \,\vert\, 5), \, & P_8 = (2 \,\vert\,7 \,\vert\, 4) \end{array} \)

Das Parallelepiped wird also beschrieben durch die drei Vektoren

\(\qquad \overrightarrow{u} = \overrightarrow{P_1P_5} =  \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \overrightarrow{P_1 P_2} =  \left( \begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \overrightarrow{P_1 P_4} =  \left( \begin{matrix} 1 \\ 6 \\ -1 \end{matrix} \right) \)

Hierfür haben wir bereits berechnet, dass
\(\qquad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = 212\)
also hat der Spat ein Volumen von
\(\qquad V = 212 \quad\)  (Volumeneinheiten)

Wir betrachten den Einheitswürfel mit den Ecken
\(\qquad \begin{array} {l l l l} P_1 = (0 \,\vert\, 0 \,\vert\, 0), \, & P_2 = (1 \,\vert\, 0 \,\vert\, 0), \, & P_3 = (1 \,\vert\, 1 \,\vert\, 0), \, & P_4 = (0 \,\vert\, 1 \,\vert \, 0) \\ P_5 = (0 \,\vert\, 1 \,\vert\, 0), \, & P_6 = (1 \,\vert\, 1 \,\vert\, 0), \, & P_7 = (1  \,\vert\, 1 \,\vert\, 1), \, & P_8 = (0 \,\vert\, 1 \,\vert\, 1) \end{array} \)

Dieser Spat wird festgelegt durch die drei Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{e_1} =  \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{e_2} =  \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{e_3} =  \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
Hierfür haben wir bereits berechnet, dass
\(\qquad [\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}] = 1 \)
also hat der Spat ein Volumen von
\(\qquad V = 1 \quad\)  (Volumeneinheiten)
(was bei einem Würfel mit Kantenlänge \(1\) natürlich auch so schon bekannt ist).