Beispiele zum Spatprodukt Eigenschaften des Spatprodukts
Setzen wir alle Definitionen zusammen, so können wir für das Spatprodukt direkt eine Formel angeben:
Merke:
Für drei Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{matrix} \right) \)
gilt
\(\qquad [\, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \,] = u_1 \cdot v_2 \cdot w_3 + v_1 \cdot w_2 \cdot u_3 + w_1 \cdot u_2 \cdot v_3 - w_1 \cdot v_2 \cdot u_3 - u_1 \cdot w_2 \cdot v_3 - v_1 \cdot u_2 \cdot w_3 \)
Diese Formel hat viele Anwendungen. So erhält man daraus etwa durch eine leichte Rechnung:
Spatprodukt und Vertauschbarkeit:
Für drei Vektoren \(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) gilt:
- \( [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = [ \overrightarrow{w}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = [ \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}, \overrightarrow{u}]\).
- \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = -[ \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w}] = -[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w}, \overrightarrow{v}] = -[ \overrightarrow{w}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}]\).
Zur Erinnerung: Drei Vektoren \(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Dieser Begriff kann sehr gut mit dem Spatprodukt beschrieben werden:
Komplanare Vektoren und Spatprodukt:
Genau dann sind drei Vektoren \(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) komplanar, wenn \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = 0\)
Das kann direkt mit der komponentenweisen Beschreibung des Spatproduktes hergeleitet werden, es folgt aber auch geometrisch: Liegen alle drei Vektoren in einer Ebene, so hat der durch diese drei Vektoren bestimmte Spat die Höhe \(0\), also auch das Volumen \(0\), und damit muss auch das Spatprodukt der drei Vektoren \(0\) sein. Umgekehrt müssen auch schon alle drei Vektoren in einer Ebene liegen, wenn der von ihnen aufgespannte Spat das Volumen \(0\) hat.
\(\enspace\)