Eigenschaften des Spatprodukts Aufgabe 1
Gegeben sind die drei Vektoren \(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} \,2 \\ -4 \\ -1 \end{matrix} \right) \) Berechnen Sie das Spatprodukt dieser drei Vektoren. Erklärung Lösung: Es gilt: \(\qquad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w}] = -36\) Erläuterung: Nach Definition ist \(\qquad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w}] = \langle \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \rangle \) und wir berechnen zunächst das Vektorprodukt. Ganz allgemein lautet die Formel für das Vektorprodukt: \(\qquad \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_2 \cdot y_3 - x_3 \cdot y_2 \\ x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 \\ x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 \end{matrix} \right)\) Damit gilt hier \(\qquad\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 2 \cdot (-1) - 1 \cdot (-4) \\ 1 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) \\ 3 \cdot (-4) - 2 \cdot 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \,\,2 \\ \,\,5 \\ -16 \end{matrix} \right)\) Es folgt \(\qquad [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w}] = \langle \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \rangle = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-16) = - 36 \) |  |
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